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線形代数に関する質問です

VをC上の内積空間とする。ｆ∈EndVに対して次を示せ。 (EndVはVの線形変換全体の集合) （i）ｆがエルミート変換ならばｆの固有値は実数である。 という問題があるのですがこれはエルミート行列の固有値が実数であることを証明しろといっているのと同じでしょうか？

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  • reiman
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回答No.6

No.5の最後の部分をを修正 すなわち エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには Vの基底を直交基底に選ばなければならない ⇨ すなわち エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには Vの基底を正規直交基底（ユニタリ基底）に選べばよい 「正規」が抜けていたのと 「選ばなければならない」はまずかった

u-shintaro1990
質問者

お礼

いろいろと細かくありがとうございました。 十分理解できました。

その他の回答 (5)

  • reiman
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回答No.5

エルミート変換fの Vの任意の基底による表現行列Fは 必ずしもエルミート行列になるとは限らない というのは Hをエルミート行列としPを正則行列としたとき F=P^-1・H・P はエルミート行列になるとは限らないからである Pがユニタリ行列になるように基底を選べば P^-1=P^* であるから F^*= (P^-1・H・P)^*= (P^*・H・P)^*= P^*・H*・P= P^*・H・P= P^-1・H・P=F となりFはエルミート行列となる すなわち エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには Vの基底を直交基底に選ばなければならない

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.4

内積の定義に不備があったので訂正 内積(,)の定義を例えば 複素数a、Vの元u,v,wに対して (0)(u,v)は複素数 (1)(u,v)^*=(v,u) (2)(u,v+w)=(u,v)+(u+w) (3)(u,av)=a(u,v) (4)0≦(u,u)であり(u,u)=0⇨u=0 とし エルミート変換の定義を例えば Vの任意の元u,vに対して (u,fv)=(fu,v) を満たすEndVの元をエルミート変換 とすると fをVのエルミート変換とし xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると (w,w)=(w,w)^*,(w,fw)=(fw,w)であるから (x-x^*)(w,w) =x(w,w)-x^*(w,w) =x(w,w)-x^*(w,w)^* =x(w,w)-(x(w,w))^* =(w,xw)-((w,xw))^* =(w,xw)-(xw,w) =(w,fw)-(fw,w) =0 よってx=x^*であるからxは実数 エルミート変換fの行列表現によって得られる行列が エルミート行列になることを捕捉に示してください

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.3

ちょっと変だったので書き直し 内積、エルミート変換の定義を例えば 複素数a、Vの元u,vに対して (1)(u,v)は複素数 (2)(u,v)=(v,u)^* (3)(u,av)=a(u,v) (4)(u,u)=0⇄u=0 とし Vの任意の元u,vに対して (u,fv)=(fu,v) を満たすEndVの元をエルミート変換 とすると fをVのエルミート変換とし xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると (w,w)=(w,w)^*,(w,fw)=(fw,w)であるから (x-x^*)(w,w) =x(w,w)-x^*(w,w) =x(w,w)-x^*(w,w)^* =x(w,w)-(x(w,w))^* =(w,xw)-((w,xw))^* =(w,xw)-(xw,w) =(w,fw)-(fw,w) =0 よってx=x^*であるからxは実数

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.2

内積、エルミート変換の定義を例えば 複素数a、Vの元u,vに対して (1)(u,v)は複素数 (2)(u,v)=(v,u)^* (3)(u,av)=a(u,v) (4)(u,u)=0⇄u=0 とし Vの任意の元u,vに対して (u,fv)=(fu,v) を満たすEndVの元をエルミート変換 とすると xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると (x-x^*)(w,w)=x(w,w)-x^*(w,w)=(w,xw)-(xw,w)=(w,fw)-(fw,w)=0 よってx=x^*であるからxは実数

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

エルミート変換の表現行列がエルミート行列であることを 自明としてよければ、そのとおり。

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