線形空間の問題です。

質問

線形空間の問題です。
始めにまだ自分は理解できていないので、意味不明なことをいっていたらすいません。
問題がわからないので、よろしければ教えてください。

Vは２変数の１次以下の多項式ax+by+cの全体のなる集合とする。

１）Vは自然な演算で線形空間となることを示せ。
２）Vの次元はいくつか？
３）Vの自然な基底をひと組与えよ
４）平面の３点P1(0,0)P2(1,0)P3(0,1)において、それぞれ指定された値c1,c2,c3をとるようなVの元を表すのに最も適したVの基底は何か？

とあります。

・線形空間の性質などは理解したのですが、２変数の場合だとどのようにかけばいいのかわからなくなっているような気がします・・・

回答No.5

koko_u_u

ダメです。やり直し。

回答No.4

koko_u_u

>こういうことでしょうか…

若干不安ですが、おおよそそういうことです。

>f+g = (a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2) ∈ Ｖ

がまさに「f + g の定義」です。
x や y がただのプレースホルダーに見えてきたら、1)の問いにとりかかりましょう。

補足

f = a_1 x + b_1 y + c_1 ∈ Ｖ
g = a_2 x + b_2 y + c_2 ∈ Ｖ　とする。

f+g = (a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2) ∈ Ｖ
よって、ｆ、ｇ∈Ｖに対して、和ｆ＋ｇ∈Ｖが定義される。

α∈Ｋなるαをとる。
すると、
αｆ＝(αa_1)x + (αb_1)y + (αc_1) ∈Ｖ
よって、積 αｆ∈Ｖが定義される。

また、
h = a_3 x + b_3 y + c_3 ∈Ｖ
β ∈ Ｋ
とする。

1, f+g = (a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2) = (a_2+a_1)x + (b_2+b_1)y + (c_2+c_1) = g+f

2,(f+g)+h = (a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2) +　a_3 x + b_3 y + c_3 = a_1 x + b_1 y + c_1 + (a_2+a_3)x + (b_2+b_3)y + (c_2+c_3)= f+(g+h)

3,f + 0 = f より、
　f_0 = 0　となるf_0が零元。

4,f + (-f) = 0 = f_0より、
　-f が逆元。

5,(αβ)f = αβ(a_1 x + b_1 y + c_1) = αβa_1 x + αβb_1 y + αβc_1 = α(βf)

6,(α+β)f = αf + βf

7,α(f+g) = α｛(a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2)｝= α(a_1 x + b_1 y + c_1) + α(a_2 x + b_2 y + c_2) = αf + αg

8,1・f = f　より、
　１　が単位元。

回答No.3

koko_u_u

>ｆ、ｇ∈Ｖに対して、和ｆ＋ｇ∈Ｖが定義される。

黙っていても「定義される」ことはありません。
1)の問いにあるように「自然な演算」とは何かを考える必要があります。

ANo.2 氏のアドバイスに従い、まずは「集合V」の定義からもう一度考えましょう。
自然な演算を考えるのはその次です。

補足

f = a_1 x + b_1 y + c_1 ∈ Ｖ
g = a_2 x + b_2 y + c_2 ∈ Ｖ　とする。

f+g = (a_1+a_2)x + (b_1+b_2)y + (c_1+c_2) ∈ Ｖ

よって、ｆ、ｇ∈Ｖに対して、和ｆ＋ｇ∈Ｖが定義される。

α∈Ｋなるαをとる。
すると、

αｆ＝(αa_1)x + (αb_1)y + (αc_1) ∈Ｖ

よって、積 αｆ∈Ｖが定義される。

＞黙っていても「定義される」ことはありません。

こういうことでしょうか…
見当違いだったらすいません。。。

回答No.2

alice_44

a x_1 + b y_1 + c ∈ Ｖ
a x_2 + b y_2 + c ∈ Ｖ
じゃなくて、

a_1 x + b_1 y + c_1 ∈ Ｖ
a_2 x + b_2 y + c_2 ∈ Ｖ
でないとね。

回答No.1

koko_u_u

>線形空間の性質などは理解したのですが、
>２変数の場合だとどのようにかけばいいのか
>わからなくなっているような気がします・・・

いいえ。
単純に「線形空間」の定義を適用することができていないだけです。
きっと V の定義すらも怪しいです。まずは V の「定義」を補足にどうぞ。

補足

ｆ＝ ax_1 + by_1 + c
ｇ＝ ax_2 + by_2 + c

とおく。

ｆ、ｇ∈Ｖに対して、和ｆ＋ｇ∈Ｖが定義される。
α∈Ｋ、ｆ∈Ｖに対して、積 αｆ∈Ｖが定義される。

でいいのでしょうか…