運動方程式って線形ですか

質問

何と言っていいかよくわからないのですが、多自由度系の普通の運動方程式 [M]x" + [C]x' + [K]x = f(t)があります([]はマトリクス)。
自由振動は外力ゼロの状態をいうのでf(t)=0として求めた固有値が固有角振動数及び減衰になります。この固有値が非線形パラメータだと書いてあるサイトがありますが意味が分かりません。

通常こういった形の式は2階線形の微分方程式と言われるので線形だと思っていました。しかし線形の条件はf(x+y)=f(x)+f(y)、c・f(x)=f(c・x)を満たすものとありますが、そうなっているのかどうかよくわかりません。

１．上記の運動方程式って非線形なのでしょうか？
２．上記の運動方程式が線形か非線形は「Cマトリクスがゼロの場合」「MKマトリクスの線形結合で表せる場合」「CマトリクスがMKマトリクスの線形結合で表せない場合」の3ケースで異なるのでしょうか？

回答No.2

kiyos06

>上記の運動方程式って非線形なのでしょうか？
1)線形です。
2)Md^2X/dt^2 +CdX/dt +KX =0の2つの解をX1,X2とする。
2.1)M,C,K:マトリクス
2.2)X.:ベクトル

3.1)Md^2X1/dt^2 +CdX1/dt +KX1 =0
3.2)Md^2X2/dt^2 +CdX2/dt +KX2 =0

4.0)a,b:スカラ
4.1)Md^2(aX1 +bX2)/dt^2 +Cd(aX1 +bX2)/dt +K(aX1 +bX2)
=Md^2(aX1)/dt^2 +Md^2(bX2)/dt^2 +Cd(aX1)/dt +Cd(bX2)/dt +K(aX1) +K(bX2)
=aMd^2X1/dt^2 +bMd^2X2/dt^2 +aCdX1/dt +bCdX2/dt +aKX1 +bKX2
=aMd^2X1/dt^2 +aCdX1/dt +aKX1 +bMd^2X2/dt^2 +bCdX2/dt +bKX2
=a(Md^2X1/dt^2 +CdX1/dt +KX1) +b(Md^2X2/dt^2 +CdX2/dt +KX2)
=a 0 +b 0
=0

>固有値が非線形パラメータだと書いてあるサイト
5)どこですか?

回答No.1

ddtddtddt

まず、「線形の条件はf(x+y)=f(x)+f(y)、c・f(x)=f(c・x)」はちょっと微妙に意味が違うと思われます。これは線形関数fの定義です。

　一方、微分方程式、
　　[M]x" + [C]x' + [K]x = f(t)　　　　(1)
に対しては、普通これをDを一回微分の意味として、
　　([M]D^2＋[C]D + [K])x＝f(t)　　　(2)
と表します。これは表記法の定義です。

　例えば、([M]D^2)x＝[M]x"と考える訳です。そこで、
　　F＝([M]D^2＋[C]D + [K])
とすると、微分方程式(1)は、
　　F(x)＝f(t)
と書けますが、とりあえず、
　　F(x)＝0
で考えましょう。
　　([M]D^2＋[C]D + [K])x＝0
という事です。

　ところでもう一つ、
　　F(y)＝0
となる関数yが見つかったとします。z＝x＋yとして、微分方程式F(z)＝0は成立するでしょうか？。やってみればわかります。

　F(z)
＝F(x＋y)
＝([M]D^2＋[C]D + [K])(x＋y)
＝[M]D^2(x＋y)＋[C]D(x＋y) + [K](x＋y)
＝([M]D^2x＋[C]Dx + [K]x)＋([M]D^2y＋[C]Dy + [K]y)
＝F(x)＋F(y)

となり、
　F(x＋y)＝F(x)＋F(y)
が成立します。xを関数としてy＝c・x についても同様です。
　F(c・x )＝c・F(x)

　要するに線形微分方程式とは、同じ微分方程式を満たす関数を足しても、定数倍しても同じ微分方程式を満たしますよ、という事です。なので、
　　[M]x" + [C]x' + [K]x = f(t)
は、間違いなく線形です。

＞この固有値が非線形パラメータだと書いてあるサイトがありますが意味が分かりません。

　確かに固有値を与える固有方程式は、[M]や[K]の寸法をn×nとするとn次方程式になりますから、線形方程式では計算できません（非線形）。この場合の線形とは、一次方程式になるという事だと思います。