線形空間

質問

Sを凸実数関数全体の集合とする。
このとき、Sが線形空間となることを示せ。
但し、fが凸関数であるとはｆが以下の性質を満たすときである。
αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)　但し、0＜α＜1

この証明をしたいのですがやり方がよく分かりません。
出来るだけ分かりやすく教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.6

kannyu · ベストアンサー

＞＞guowu-xさん

kannyu＠過ちを再び（改名しました）です。
たびたび間違ってました。すいません（Ｔ。Ｔ
#2のアドバイスの訂正です。

とりあえず、（２）の定義の場合には
普通に入れられる加法ではベクトル空間になりませんでした。
（つまり(f+g)(x) := f(x) + g(x)）

原因は#1のwell-defined１）の証明部分をそのまま（２）の定義で
適用しようとすると、不等号が一定でないため成り立ちません。

＃超初歩的な間違いをしてしまいました。。
＃またしても、しっかり解いてませんでした。
＃ごめんちゃいtooです☆

ちなみに、nubouさんが反例を上げられています。

ということで、それでは正解を。。といいたいのですが、
ちょっと今回は力不足みたいです。。。
お役に立てなくて申し訳ないです～～

ちなみに、凸関数を（１）のように定義した場合

＞私の持ってる数学の本には、線形空間であることをチェックするには
＞(1)すべてのｘ∈Sに対して、実数倍αｘがSに属する。
＞(2)すべてのx,y∈Sに対して、和x+yがSに属する。
＞を示せば十分である。
＞とあるのですが…。

の条件でなら、和、スカラ倍を
(αf)(x) := |α|f(x)　　（｜α｜はαの絶対値）
(f+g)(x) := f(x) + g(x)
と定義すれば示せますが、文面だけから判断すると、
数学的にベクトル空間とは呼べないと思います。
（数学的には＃１で述べたものが定義です。
「十分ということ」なのでなんかありそうですが。。）

どうやらkannyuでわかるのはこの辺までみたいです。
ただ、＃１～＃２（訂正分）で述べた証明への手順は
（中身は別として）間違っていないのでご参考になれば幸いです～

再度にわたり、長文の間違ったアドバイスの上、
きちんとした正解が出せず大変ごめんちゃいです。
板汚しゆるしてくださいね～～

＞＞nobouさん

kannyuはこの辺が限界のようです。（爆死スマスタ）
もし正しい和とスカラ倍の入れ方がわかるんでしたら
補足しておいてくださいね～～

それと、板で「間違い」を発見した場合、
再度質問形式で反例をあげるより、
「その証明、間違っていない？？この場合成り立たたいよ」
といったほうが、イヤミじゃないし、元で質問している人にわかりやすいと思いますよ。

＃まー、間違ってない場合に恥をかきますが。。
＃そんなことに気にしてたら解答なんでできないですからねぇ～
＃と自分に言い聞かせるkannyuでした。

とにも、反例のご提示ありがとうございました☆

それではkannyu退散の巻！！
がんばってくださいね～～ごみんね～～～

お礼

丁寧に考えてくださってありがとうございました。

回答No.5

nubou

f(x)=1-x^2
g(x)=x^4-1
h(x)=f(x)+g(x)

f(x),g(x),h(x)のうち
どれが凸関数でしょうか？

回答No.4

kannyu

＞＞guowu-xさん

kannyuです。
#1のアドバイスの自己訂正です。
以下Xを集合、Rを実数体としています。

結論から言うと#1は間違ってました。ごめんちゃい☆
（フィーリングだけでできるなと思って、全部解いてなかったんです。＾＾A）

今回の凸関数の定義
for ∀x,y∈X ,0＜α＜1 ∀α∈R　　　　　　・・・・（１）
αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)
から作られる集合Sは、普通に入れられる加法、スカラ倍ではベクトル空間になりません。
（つまり(f+g)(x) := f(x) + g(x)，　(αf)(x) := αf(x)）

＞nubouさんのおっしゃっているf(x) = -x^2が反例になってます。

ただし一般的に連続関数における凸関数は、
for ∀x,y∈X ,0＜α＜1 ∀α∈R　　　　　　・・・・（２）
αf(x)+(1-α)f(y) - f(αx+(1-α)y)の正負が一定
として定義されています。
（つまり、上に凸の場合も凸関数として扱う）

これの場合には#1で述べた普通の加法、スカラ倍でベクトル空間になります。

guowu-xさんの問題では凸関数の定義が、（１）での定義になっているんですよね？
この場合、ちょっとスグには、加法、スカラ倍の入れ方が思いつきません。。
もう少し考えて見ます。

さて、恥のうわぬり２！！

１００歩譲って凸関数が（２）の定義であるとしてもwell-definedのくだり２）が間違っていました。

誤　２）演算結果の一意性：演算結果が等しいならばもともとSの元として等しいこと
正　２）演算結果の一意性：もともとの(ここではS×S)の元として
　　　　　等しいものの演算結果はまた等しい。
つまり
+: S×S → S
(f,g) → h
(h(x) = f(x) + g(x) for ∀x∈X)
で定義される関数が1対nになっていないこと

正しい　Proof of ２）
(f,g) = (p,q)とすると、
f=p,g=q
よって
(f+g) = f(x) + g(x) = p(x) + q(x) = (p+q)
（Q.E.D)

混乱させて申し訳ありません。
まとめときますと、

Sの定義が（１）のとき
加法、スカラ倍を普通に入れることができない。
よって#1の加法の入れ方では解けない可能性あり。
なお、#1のwell-definedのくだり２）はSの定義しかたによらず間違っている。

Sの定義が（２）のとき
普通に加法、スカラ倍を入れればベクトル空間になる。
よって#1の加法の入れ方でOK
なお、#1のwell-definedのくだり２）はSの定義しかたによらず間違っている。
２）の正しいものは今回の記述です。

＞＞nubouさん

f(x)=-x^2は（１）の定義のとき凸関数になりません。
　　(２）の定義のとき凸関数になります。
また、かってに反例を使わせていただきました。m(__)mペコリ

それではとり急ぎお詫びと訂正でした～☆☆

補足

問題には凸関数の定義は
∀x,y∈R ∀α∈(0,1)；αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)
とありました。
この定義で、
凸実数関数全体の集合Sが線形空間となることを示せ、とあります。
私の持ってる数学の本には、線形空間であることをチェックするには
(1)すべてのｘ∈Sに対して、実数倍αｘがSに属する。
(2)すべてのx,y∈Sに対して、和x+yがSに属する。
を示せば十分である。
とあるのですが…。
どう示せばいいのかなかなか分からなくて…

回答No.3

Mell-Lily

この問題の意図は、つまり、凸実数関数全体の集合が、線形空間の定義に上手く当て嵌まることを確認せよ、ということです。線形空間の定義は、教科書にありますから、後は、自分で考えてみましょう。

回答No.2

nubou

－ｘ＾２は凸関数ですか？

回答No.1

kannyu

まず、線形空間（ベクトル空間）の定義がわかりますか？
大学以上の数学では定義と仮定が大切なのでよく理解してください。

さて、線形空間の定義は下記のようになっています。
「次の条件を満たす集合Xを体K上の線形空間であるという。

　Xの任意の２つの元、x,yとKの任意の元αに対し，
　xとyとの和x+yとスカラ倍αxが定義され
　その演算において次の条件1)～7)をみたす
　　　（ただしx,y,zを集合Xの元で、a,bを体Kの元とする）
1)　(x+y)+z = x+(y+z)　　（加法の結合律）
2)　x+y = y+x　　　　 　（加法の可換律）
3)　Xの任意の元xに対しθ+x = x+θ= x となる
Xの元θがただ一つ存在する　（加法零元の存在）
4)　Xの任意の元xに対しそれぞれ、x+x' = x'+x = 0 となる
Xの元x'がただ一つ存在する　（加法逆元の存在）
5) (αβ)x=α(C)　（スカラ倍での結合律）
6) α(x+y) = αx + αy （スカラ倍での分配律）
(α+β)x = αx + βx　（スカラ倍での分配律）
7) Kの乗法単位元１について、xがゼロ元でないならば、1x=x 」

#きっとお尋ねの問題では
#「Sが線形空間」ではなく「Sが実数R上の線形空間である」
#となっているはずですね。

この定義からSが実数R上の線形空間であることを示すには、集合Sに加法とスカラ倍（実数倍）をうまく定義した上で、その演算が条件1)～7)を
満たせばいいことがわかります。

線形空間であることの証明方法は大概、「定義の内容を満たすかどうか」ですからとても簡単です。つまり、証明されるべき集合（今回なら凸実関数全体の集合ですね）が変わるだけですから、凸関数とか「難しく聞こえる」言葉に惑わされず、こつこつやれば証明できますよ。

それではこの集合

S={f|f:X → R, αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)　for ∀x,y∈X ,0＜α＜1 ∀α∈R}

に加法を　

(f+g)(x) := f(x) + g(x)

と定義します。
このままでは、勝手に演算を定義しただけですから、この定義が本当にS上の加法として
うまく定義されている（いわゆるwell-definedってやつです）か証明する必要があります。

この演算がS上の加法としてうまく定義されているとは、
　１）演算結果が再び集合Sの元となっているかどうか　(f + g ∈S)
　２）演算結果の一意性：演算結果が等しいならばもともとSの元として等しいこと
　(f(x) + g(x) = c(x) ならば　f+g = c)
を満たしていることです。

まず１）を示します。
f,g∈Sについて
αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)
αg(x)+(1-α)g(y)≧g(αx+(1-α)y)
より
α(f(x) + g(x)) + (1-α)(f(y) + g(y)) ≧ f(αx+(1-α)y) + g(αx+(1-α)y)
　⇔α{(f+g)(x)} + (1-α){(f+g)(y)} ≧ (f+g)(αx+(1-α)y)
よって
f+g∈S

次に２）を示します。
f,g,h∈Sについて
f(x) + g(x) = c(x)　⇔　(f+g)(x) = c(x)
より
f+x = c

以上より集合Sに加法を定義できました。

スカラ倍の定義(well-definedを示して)も同様です。
そして定義した加法、スカラ倍による式変形により、条件1)～7)を示すことも簡単に示せます。

あとは練習としてやってみてください。
わからなければ返答いただければ、残りも証明しますので是非がんばってくださいね。