ベクトル空間 アフィン空間

質問

ベクトル空間とアフィン空間について

ベクトル空間は自然にアフィン空間であるという点なのですが、
ベクトル空間の対象は線形（原点を通る）だと思います。一次関数は線形ではありませんよね。
ここで、ベクトル空間の対象外である一次関数はアフィン空間の対象であるのになぜベクトル空間は自然にアフィン空間なのでしょうか？

アフィン空間はベクトル空間を一般化という事は、アフィン空間はベクトル空間の上位集合?という感じでしょうか・・・

今まで、いろいろ質問させていただき、回答をノートに纏めていたのですが、この点がどうも引っかかってしまって・・・

Wikipediaによると、
「一つのベクトル空間の張り合わせによってできる幾何学的な対象の一つにアフィン空間がある。」
とあるのですが・・・

回答No.2

jmh

間違ってるかもしれないけれど…、アフィン空間っていうのは、直感的には、点にベクトルを足すと、点からそのベクトルの向きと距離だけ移動した位置の点になる空間だったような…。点を大文字：Ａ，Ｂ，…で、ベクトルを小文字：ｐ，ｑ，…で書きます。点＋ベクトル＝点：Ａ＋ｐ＝Ｂ。移項して、ベクトル＝点－点：ｐ＝Ｂ－Ａって具合。実はＡやＢもベクトルでした（位置ベクトル？）というのが、「ベクトル空間は自然にアフィン空間」ということではないでしょうか？

回答No.1

kabaokaba

あなたの主張は
「比例は一次関数である」
ということに異を唱えているのと同義です．

アフィン空間はベクトル空間を平行移動したものと
捉えることができますが，
「平行移動しない」＝「0だけ平行移動する」
ということが理解できませんか？

>アフィン空間はベクトル空間を一般化という事は、アフィン空間はベクトル空間の上位集合?という感じでしょうか・・・

また勝手にわけの分からない階層化をして混乱してます．
アフィン空間とベクトル空間は別物です．
たまたま，ベクトル空間は
アフィン空間の特殊な例になるというだけ．
その意味では，たしかに
アフィン空間はベクトル空間の一般化ですが，
こんなことを意識しても実りはありません．

というか・・・いったい何のためにアフィン空間に
拘泥しているのですが？
何かの目的があるなら．その目的に合致した計算なり
何なりをやって，例によって直感を養うほうが
実りがあるでしょう．
どうしてもこういう数学的な構造を抑えたいなら，
それなりに大きな図書館やそこの検索システムで
岩波書店の数学選書（だったと思う）の
「アフィン空間」（と射影空間も一緒になってたはず）の
巻を探してきちんと読んでみるといいでしょう．
ただし，この本は数学書ですので，
それなりの線型代数などの知識が必要ですが，
アフィン空間を扱っている数少ない本です．

お礼

何度も本当に申し訳ありません。

比例は一次関数の特殊例だと思っています。
一次関数はそのグラフが原点を通るときのみ線形です。
x+y=1は非線形。つまり、x+y=1はベクトル空間ではない。
ベクトル空間（比例）はアフィン空間（一次関数）の特殊例ととらえられるので、
ベクトル空間はアフィン空間（構造）を必ず持つと言う事で理解しました。

ご回答本当にありがとう御座いました。

アフィン空間（一次関数）はベクトル空間（比例）の一般化という事で、
ベクトル空間が特殊な空間であると言うこともしっくりきました。