アフィン写像について

質問

アフィン写像について
アフィン写像の説明で、
アフィン写像は、アフィン空間の構造を保つような写像のことである。
とくに始域と終域が同じであるようなアフィン写像をアフィン変換という。
という説明があったのですが、
始域と終域が同じとはどのような事なのでしょうか？
同一集合（次元が同じ？）のことを指しているのでしょうか？

また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、
アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.12

muturajcp · ベストアンサー

f:X→Y
f(x)=g(x)+c
で
X=Y同一集合であってもgが正則線形変換を満たさなければ、fは全単射とならない。
また、逆写像f^{-1}はfが全単射で
X≠Y同一集合でない場合のf^{-1}で,
逆変換f^{-1}はfが全単射で
X=Y同一集合である場合
のf＾{-1}である
との解釈で正しい
つまり逆写像と逆変換は同一集合かそうでないか
で言葉として
使い分けられると解釈してよい

補足

いつもご回答本当にありがとうございます。
理解する事ができました。

本当にありがとうございました。
因に、別質問なのですが、射影変換についてもご回答頂けると有り難いです。
URL:http://okwave.jp/qa/q6043704.html

この度は、本当にありがとうございました。

回答No.11

muturajcp

例3)
f:R→R（Rは実数全体）
x∈R→f(x)=0
とすると、fは全単射にはならないが
fは同一集合への対応となる
同一集合であっても、全単射とならない。
同一集合への写像であっても正則線形変換を満たさなければ、
全単射とならないという事です。

例4)
f:{0}→{1}
f(x)=x+1
とすると
{0}≠{1}で
同一集合でないから(アフィン)変換でないが
全単射写像となる

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

同一集合であっても正則線形変換を満たさなければ、全単射とならないのですね。

また、逆写像は全単射で同一集合でない場合のf＾-1で逆変換は全単射で同一集合である場合
のf＾-1であると解釈しました。
この解釈で正しいでしょうか？つまり逆写像と逆変換は同一集合かそうでないかで言葉として
使い分けられると解釈しました。

以上、お手数ですがご回答よろしくお願い致します。

回答No.10

muturajcp

f(x)=1だからa*f(x)=a*1 なのでx=1とはなりません。
例1）
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→
f(x)=1
と関数fを定義する
任意のa+b=1となるa,b∈Rと任意のx,y∈Rに対して
→
f(x)=1だから両辺にaをかけてa*f(x)=a*1=a
f(y)=1だから両辺にbをかけてb*f(y)=b*1=b
a*f(x)+b*f(y)=a+b=1=f(ax+by)
となるが
fは全単射でないから
fはアフィン変換でない

補足

いつもご回答ありがとうございます。
初歩的すぎました・・・。申し訳ございません（汗）
理解できました。

線形変換の定義に全単射である条件は必要ないとご回答頂いたのですが、
f:R→R（Rは実数全体）
とすると、これは全単射の条件にはならないのでしょうか？
同一集合への対応を変換と呼ぶのが慣習だと認識しています。
同一集合であれば、全単射となるのではないかと考えた次第です。

同一集合への写像であっても正則線形変換を満たさなければ、
全単射とならないという事なのでしょうか？

また、逆写像などは全単射であることが逆写像が存在する条件だと
思いますが、全単射であっても同一集合への写像でない場合があるのでしょうか？
逆写像と逆変換と2つの言葉がありますが、不思議に思ったので追加で質問
させて頂きました。

以上、お手数ですがご回答よろしくお願い致します。

回答No.9

muturajcp

例2)
f:{1}→{1}
f(x)=1
例2）は正則線形変換を満たす
f(x)=xとなる理由は、f：｛1｝→｛1｝だからと言う認識で良い

例3)
f:R→R
f(x)=0
線形変換を満たすが、アフィン変換は満たさない
正則線形変換を満たさなくても定義に従い線形変換は満たすと言う解釈で良い

例1)
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→f(x)=1と関数fを定義する
ので
定義域はx=1だけとはなりません。xは1を含むすべての実数をとります。
定義域がRだから、全単射でないのであって、
定義域を{1}だけに限ると別の関数(例2)f:{1}→{1}となり、
全単射となります。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞例1）
＞R={x|xは実数}={全実数}とする
＞f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→
＞f(x)=1
＞と関数fを定義する
＞任意のa+b=1となるa,b∈Rと任意のx,y∈Rに対して
＞→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
＞となるが
＞fは全単射でないから
＞fはアフィン変換でない
について、f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)としている点が理解
できていません。
f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)においてa*1つまりx=1となる
理由はなぜでしょうか？

回答No.8

muturajcp

例1）
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→
f(x)=1
と関数fを定義する
任意のa+b=1となるa,b∈Rと任意のx,y∈Rに対して
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
fは全単射でないから
fはアフィン変換でない

例2)
f:{1}→{1}
f(x)=1
とすると
f(x)=x=1*x+0=gx+0,g=1≠0 となる g=1が存在する

例3)
f：R→R
f(x)=0
「
線型変換の定義： [1]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。
」だから
任意のa,b,x,yに対して
→f(ax+by)=0=a*0+b*0=af(x)+bf(y)
となるから
定義より線形変換である
が
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

補足

ご回答ありがとうございます。

例1）に関して理解できました。

例2）に関しては、例1）と例2）を対比したとき
例2）は正則線形変換を満たします。
f(x)=x=1*x+0=gx+0,g=1≠0 となる g=1について、
f(x)=xとなる理由は、f：｛1｝→｛1｝だからと言う認識で良いですか？

例3）に関しては、
線形変換を満たすが、アフィン変換は満たさないと言うことで理解しました。
正則線形変換を満たさなくても定義に従い線形変換は満たすと言う解釈で良いでしょうか？
つまり、全単射でなくても線形変換は満たすと言うことですね。

また何度も申し訳ないのですが、x,yの値はどのように決まるのか教えて頂けませんでしょうか？
アフィン写像であるがアフィン変換でない例）
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→f(x)=1と関数fを定義する
f(x)=1とはつまり、f(x)=ｙを表すためy=1であることは理解していますが、
x＝1となる理由がはっきりと理解できていません。。。

以上、本当に何度も何度も申し訳御座いませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

muturajcp

始域・終域が一致すれば全単射（一対一での対応）ではありません。
始域=終域=値域とできれば、全単射（一対一での対応）になるかもしれません。
訂正します。
アフィン変換でないアフィン写像の例）
f：X=R→{1}=Y
f(x)=1
X=始域=R≠{1}=終域=Y=値域
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

全単射でない線形変換の例)
f：R→R
f(x)=0
任意のa,b,x,yに対して
→f(ax+by)=0=a*0+b*0=af(x)+bf(y)
となるから線形変換であるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

補足

ご回答ありがとうございます。

アフィン変換でないアフィン写像の例）について
X=始域=R≠{1}=終域=Y=値域はなぜでしょうか？
X=始域=R＝{1}=終域=Y=値域であるが、f(x)=gx+c　,g≠0となるgが
存在しないからアフィン変換でない。
ではないのでしょうか？このあたりがまだ理解不足に思います。

f(x)＝1というのは、fという関数を「変換」と言っていると認識していますが
アフィン変換でないアフィン写像の例）
f(x)＝1
f：X→Y　，X、Yの要素であるx，y∈R
という表記でも問題ないでしょうか？

また、任意のa+b=1となるa,bは問題ないのですが、x,yはf(x)＝1の場合は
1と決まる様に思うのですが、どうでしょうか？何か決まりがあるのでしょうか？

全単射でない線形変換の例に関しては、
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないということは正則線形変換を満たさない
だと認識しているのですが、正則線形変換を満たしていなくても線形変換は満たす
のでしょうか？

再三お手数を御かけして申し訳ございませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

muturajcp

始域=f(ax+by),終域=af(x)+bf(y)ではありません。
訂正します。
アフィン変換でない例）
f：X=R→R=Y
X=始域=R=終域=Y
f(x)=1
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して(x=y=1,a=b=1/2でなくてもよい)
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。
f(x)=g(x)+c,|g|≠0となるgが存在しない
(fが全単射（同型写像）であるための必要条件として、gが正則線形変換を満た
さない)
からアフィン変換でない

アフィン変換の例)
f:X=R→R=Y
X=(fの始域)=R=(fの終域)=Y
f(x)=x+1
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して(x=y=1,a=b=1/2でなくてもよい)
→f(ax+by)=ax+by+1=ax+by+a+b=a(x+1)+b(y+1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g=1≠0
fはアフィン変換

アフィン変換の定義
「体 K 上のアフィン空間W 上の変換 f で、x,y∈W, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立ち、全単射写像で
あるもの」
でよい。

補足

親切丁寧なご回答ありがとうございます。
大変感謝しています。

f：X=R→R=Yにおいて、
X=始域=R=終域=Yということで理解しました。

始域・終域が一致すれば全単射（一対一での対応）だと認識しています。
つまり、f(x)=g(x)+c,|g|≠0となるgが存在する条件というのが始域・終域が一致
するという事を表しているのでしょうか？

f(x)=1はアフィン写像であるが、アフィン変換ではないと言う認識で良いでしょうか？
また、線形変換についても同様に全単射の条件は必要ではないのでしょうか？

以上、お手数かと存じますが何卒ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

muturajcp

アフィン変換の定義を
「体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。」
とするのは正しくありません。
アフィン変換でない例)
f:R→R
f(x)=1
f(ax+by)=af(x)+bf(y)
始域=終域
f(x)=gx+c,g≠0　となるg,cがあるとすれば、
f^{-1}(y)=(y-c)/gが存在してfは全単射となるが
f^{-1}は存在しないからfは全単射でない
f(x)=g(x)+c,gは正則線形変換という形にならないから
fはアフィン変換でない。

補足

ご回答ありがとうございます。
始域=f(ax+by),終域=af(x)+bf(y)ということで理解しました。

アフィン変換でない例）
f：R→R
f(x)=1
x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=1=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
ということは、f(ax+by)=af(x)+bf(y)より始域=終域ではないのでしょうか？
始域=f(ax+by)＝終域=af(x)+bf(y)が成り立つように思います。

アフィン変換ではない例もアフィン変換である例でも、x=y=1となる理由はなぜでしょうか？
また、a=1/3,b=2/3でも良いのでしょうか？

f(ax + by) =g(x)+c,g≠0となるgが存在しないことがアフィン変換とならない
事なのでしょうか？
つまり、全単射（同型写像）であるための必要条件として、正則線形変換を満たさない
からアフィン変換でないと解釈するのでしょうか？

アフィン変換の定義ですが、
「体 K 上のアフィン空間W 上の変換 f で、x,y∈W, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立ち、全単射写像であるもの」
とすれば、アフィン変換の定義を満足しますか？

お教え頂いた、アフィン変換の定義はWikipediaにも記載されており、一般的かと思いますが、
線形変換と対比できて分かりやすい定義を採用したいので・・・　

以上、お手数をお掛けして本当に申し訳ないのですが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44

∀x,f(x)=1 の例は、
｛1｝= fの値域 ⊂ fの終域 = R = fの始域
だよ。
最初に、f:R→R って書いてあるでしょ。

そもそも、アフィン写像とアフィン変換を
区別することが無意味なのだけれど。

回答No.3

muturajcp

Vをn次元ベクトル空間とし、
Eを集合とする。
+:E×V→E,P∈E,a∈V→P+a∈E
が定まり次の法則が満たされるとき、Eをアフィン空間といい、Eの要素を点という
(1)P∈E,0∈V→P+0=P
(2)P∈E,a,b∈V→(P+a)+b=P+(a+b)
(3)∀P,Q∈E→　Q=P+a　となる　a　がただ１つ存在する
このとき V を E の標準ベクトル空間という
Eの1点oを指定すれば、P=o+xによって、点Pとベクトルxが1対1に対応する
このときxを点Pの位置ベクトル
oをその原点(始点)といい、x=(o→P)と表す。

Eをアフィン空間
VをEの標準ベクトル空間とする
o∈E に対して
α:E→E, P∈E→α(P)∈E
∃g:V→V,gは正則線形変換,det(g)=|g|≠0
∃c∈V
(o→α(P))=g((o→P))+c
となるとき
αをアフィン変換という。(αはoに依存する)

「
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。
」
であっても f は　アフィン変換でない場合があります。

アフィン変換でない例)
f:R→R
f(x)=1
x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=1=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g≠0　となるgは無い
(fの始域)=R≠{1}=(fの終域)で始域と終域が同じでない
からfはアフィン変換でない

アフィン変換の例)
f:R→R
f(x)=x+1
x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=f(1)=1+1=2=(1/2)*2+(1/2)*2=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g=1≠0
(fの始域)=R=(fの終域)で始域と終域が同じだから
fはアフィン変換

補足

ご回答ありがとうございます。
いまさらですが、アフィン変換の定義を
「体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。」
としましたが、アフィン変換はアフィン空間に作用するだとすると、
この定義は正しいと言えるのでしょうか？

＞アフィン変換でない例)
＞f:R→R
＞f(x)=1
＞x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=1=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
＞f(x)=gx+1,g≠0　となるgは無い
＞(fの始域)=R≠{1}=(fの終域)で始域と終域が同じでない
＞からfはアフィン変換でない

理解出来ない点があるので追加質問させて下さい。
・x=y=1,a=1/2,b=1/2はどのようにして決まるのでしょうか？
　x=y=1としているのはf(x)=1がy=1の定数関数だからでしょうか？
　また、a=1/3,b=2/3でも良いのでしょうか？
・f(ax+by)=1=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)は理解できますが、
「f(x)=gx+1,g≠0　となるgは無い」とは何を示しているのでしょうか？
・「(fの始域)=R≠{1}=(fの終域)で始域と終域が同じでない」が理解できません。
　 f:R→Rであれば、始域と終域は同じではないのでしょうか？

アフィン変換の例)も同様に理解できないのですが、アフィン変換でない例)が
理解できればこちらは理解できると思います。

以上、申し訳御座いませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_44

アフィン写像は、アフィン空間に作用するものです。

正方形が長方形の一種であるように
ベクトル空間はアフィン空間の一種ですから、
アフィン写像がベクトル空間に作用しても構いません。
しかし、ベクトル空間ではないアフィン空間にも
アフィン写像は作用できるのですから、
＞ アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが
という認識は、間違っています。

n 次元アフィン空間は、n+1 次元ベクトル空間の
とある部分集合とアフィン同型であり、
それに作用するアフィン写像は、外側のベクトル空間の
線型写像によって実現できる　…辺りの事実が、
貴方の勘違いの源であるような気はします。
間違い易いところなんですよ。