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私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sに

私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。 問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理2に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理2の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。 <ユークリッド 幾何学の公理> (公理1)与えられた2点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど1つ引くことができる。 (公理2)与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。 (公理3)平面上に2点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど1つ書くことができる。 (公理4)直角はすべて相等しい。 (公理5(平行線公理))直線外の1点を通り、その直線に平行な直線は1本に限る

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不思議で不思議でならない. 質問者は「ゲーデルの不完全性定理」 を理解してるんだろうか・・・・ この定理の大事な「前提」を スルーしているんじゃないのかな. 「自然数論を含む形式的体系」じゃないと 不完全性定理はでてこない. 実際「ゲーデルの完全性定理」ってのもあるんですよ. 前の質問で,証明の粗筋をかいてくれた人がいたでしょう? そこでは「ゲーデル数」っていうのが大事な働きをしてるという 指摘があったでしょう? 「数」が必要なんですよ,不完全性定理には. ものすごくぶっちゃけていえば 「完全性定理」と「不完全性定理」の境界は「数」. ちなみにこの場合の「数」ってのも きちんと公理系(ペアノ公理系ってのがメジャー)で 定義される「形式体系」. さて。。。あなたが述べている「ユークリッド幾何の公理」系 (原論の言葉でいえば本当は「公準」であって 原論でいうところの「公理」はべつのもの)は 果たして,不完全性定理の述べるところの 「公理系」なのでしょうか? つまり,古典的な 「原論の形のユークリッド幾何の公理(公準)」 は,現代的な意味での「公理系」なのか?です. 現代的な意味での公理系であるならば なぜヒルベルトは「幾何学の基礎」で ユークリッドの公理系をある意味で「批判」して 新しい体系を提示したのか? ヒルベルトの意味でのユークリッド幾何でも 果たしてゲーデルの議論に乗せるのには十分なのか? そもそも「無矛盾な形式体系」であっても 不完全性定理の前提を満たさないものがあるのではないか? まずはそこらへんから考えないと そもそも不完全性定理を適用できるか分からないわけです. #って。。。実は答えはすでにあるのですが #ちょっと調べれば分かるのでスルー. ちなみに・・・・ 不完全性定理のいうところの「決定できない命題」の 自然なものってのは1973年とか1977年ころに なってでてきたんですよ. 不完全性定理が1931年で,連続体仮説とか 選択公理の方面での命題が1940年近辺の話なので いかに大変な仕事だったのかが分かりますね. 資料: ・ゲーデルの20世紀シリーズ(東大出版会) ・ゲーデル 不完全性定理(岩波) ちなみに,私もalice_44さんやTacosanさんと同じで 無限遠点は出てこないでしょうと答えます. だって「限りなく伸ば」したって, それからどうなる?ということについて何も述べてない. 演繹できるから大丈夫? ユークリッド幾何で導ける点って「有限」のところだけでは? 公理系の外部のものが内部で証明できないのは当然です.

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質問者からのお礼

kabaokabaさん ご回答ありがとうございました。 私は数学者ではなく たんにゲーデルの第1不完全性定理の身近な命題がないのか から出発しております。ユークリッド幾何学では どうなっているのか ということから 私なりに考えた ということです。 ご指摘のように 無限遠点の理解が まったく間違いであるなら 考えた命題も意味がありません。 おそらくはユークリッド幾何学では そのような命題はない のでしょう。 ご指摘のように 奥深いゲーデルの不完全性定理 から勉強してみます。ありがとうございました。

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その他の回答 (6)

  • 回答No.6
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#3 への「お礼」は全く答えになってない. ・線分AB を「A の方に伸ばした先」と「B の方に伸ばした先」というのは, 普通に考えれば違うとするのが妥当でしょう. で, あなたの言う「無限遠点」なるものは, 「A の方に伸ばした先にあるもの」と「B の方に伸ばした先にあるもの」とで同じものなのですか? 違うものなのですか? 「同じ」か「違う」か, どちらかをきちんと決める必要がありますよ. ・2つめも同じこと. 線分AB を伸ばした先にある「無限遠点」と線分CD を伸ばした先にある「無限遠点」は同じものなのですか? それとも違うものなのですか? これも, 「同じ」か「違う」かをきちんと決めてください. ・最後の点には全く答えられていませんね. 再度聞きましょう. 「無限遠点」は「点」なのですか? それとも「点ではない」のですか? 「無限遠点」を議論するためには, これらはすべてきちんと定義しておく必要があります. ここを曖昧にしたままでは, 議論の俎上に載りませんよ. 答えられないようでは, 「『無限遠点』をきちんと定義した」とは到底いえません. もちろん定義する気がないならそれでもかまいませんが, もしそうなら「『無限遠点』をきちんと定義する気はない」とはっきり宣言してください.

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  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

> ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが、 > 無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。 No.1 No.4 を全く読んでいないのか。ガッカリ。 ユークリッド幾何に、「公理2の限りなく線分を伸ばした点」なるものを 付け加えると、No.4 のように矛盾が出てくる。よって、 ユークリッド幾何が無矛盾であれば、その公理系から無限遠点の存在を 導くことはできない。

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質問者からのお礼

 無限遠点は 無限の遠方にある点であり そこには有限でのユークリッド幾何学が成り立つかどうか分っていない と理解します。そこで 限りなく線分を延ばした点の理解ですが 私は無限の遠方にある点 と理解したのです。しかし、ご指摘のように この理解が間違っているなら 無限遠点は導かれないでしょう。 

  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

←No.1 補足では、 ポイントがズレている。 公理2 は線分が延長できることを述べており、 限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、 「無限遠点」から先へ延ばすことも可能 でなければならない。それでも、まだ 「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえるのか。 公理系が矛盾を含めば、不完全性定理の 対象外だろうと指摘したのだった。

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質問者からのお礼

Alice44さん ご回答ありがとうございます。 公理系が矛盾している 場合は ご指摘のように論理構成ができない わけで 不完全性定理の対象外です。 ユークリッド幾何学の公理群は矛盾している とは聞いたことがありません。無限遠点は 公理ではありません。無限遠点は公理2あるいは公理2と公理1を用いることで演繹される のではないでしょうか。ご指摘の『限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、「無限遠点」から先へ延ばすことも可能でなければならない。』という理解が有限域の理解と思います。ですから『「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえる』になると考えます。そこでは有限域の例えば 大小関係は意味をなさないと思います。 ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが 無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。 無限遠点ではなく ゲーデルの第2不完全性定理のユークリッド幾何学の別命題を示して頂けた 助かります。   

質問者からの補足

すみません。文の終わり近く ゲーデルの第2不完全性定理は第1不完全性定理のまちがいです。かくところがなく ここに書き込みました。すみませんでした。 Alice44さん ご回答ありがとうございます。 公理系が矛盾している 場合は ご指摘のように論理構成ができない わけで 不完全性定理の対象外です。 ユークリッド幾何学の公理群は矛盾している とは聞いたことがありません。無限遠点は 公理ではありません。無限遠点は公理2あるいは公理2と公理1を用いることで演繹される のではないでしょうか。ご指摘の『限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、「無限遠点」から先へ延ばすことも可能でなければならない。』という理解が有限域の理解と思います。ですから『「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえる』になると考えます。そこでは有限域の例えば 大小関係は意味をなさないと思います。 ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが 無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。 無限遠点ではなく ゲーデルの第2不完全性定理のユークリッド幾何学の別命題を示して頂けた 助かります。    投稿日時 - 2010-03-05 21:21:21

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

後で気づいたんだけど, ある意味 #2 って「枝葉」だった.... とりあえずあなたのいう「無限遠点」には未定義なことがまだまだあります: ・異なる 2点 A, B を端点とする線分を考え, この線分を公理2 で伸ばして直線AB を得たとします. 当然ですが, 公理2 で伸ばす方向は 2方向あります. すると「限りなく伸ばした点」は 2点存在するのが自然だと考えられるのですが, それでいいですか? ・さらに 2点 C, D を取ります. 一般性を失うことなく B, C, D は全て相異なると仮定してかまいません. このとき, 直線CD は自明に直線AB とは異なります. 直線AB に対する「無限遠点」と直線CD に対する「無限遠点」とは, どのような関係にあるのでしょうか? ・非常に重要な問題なのですが, 「無限遠点」は「点」なのですか?

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質問者からのお礼

Tacosanさん ご回答ありがとうございます。ご質問のA端の点かB端の点か はどちらでもいいと考えます。A端だけ 限りなく延ばしてもよく あるいは B端だけ 限りなく延ばしてもよく、あるいは 両端を限りなく延ばしてもいいと考えます。重要なことは限りなく延ばしたということです。 もう一つの有限域で相異なる直線ABと直線CDをとりあげ 直線ABの無限遠点と直線CDの無限遠点とはどのような関係かという ご質問ですが 交わるのか交わらないのか が問われているように思います。この答えは 正にゲーデルの第1不完全定理の命題の一つと思います。交わるとしても交わらないとしてもユークリッド幾何学では証明できない ということと思います。無限という概念は公理から演繹されますが 無限域で演繹される理論構造になってない ということではないでしょうか。

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

いや, 整数 (や実数) に翻訳して言えば次のように見えるのだが. あなた: ∞という値が存在する #1: そんな値は存在しない そもそも「公理2の限りなく線分を伸ばした点」は日本語としておかしい. 確かに公理2 では「与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる」と述べているが, この操作の結果として得られる「限りなく線分を伸ばしたもの」は直線 (ないし半直線) であって「点」であることはありえない. つまり「公理2の限りなく線分を伸ばした点」というのは定義の体をなしていない.

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質問者からのお礼

Tacosanさん ご回答ありがとうございます。 無限遠点を公理を使って説明できるか ということですが 公理2のみでは 点の説明は無理かもしれません、が公理1では点と線の説明があります。公理2と公理1を使えば 説明できる と思います。要は無限 という概念が公理から演繹されるかということと 演繹されるとゲーデルの第1不完全性定理の幾何学の例題が分りやすい ということです。 また∞を整数(実数)と同じように扱ってはいません。

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

間違っています。 ユークリッド幾何においては、 貴方も書いているように、 直線は、どこまでも延ばすことができます。 その先の何処に「無限遠点」を置いたとしても まだ先へ延長できるのだから、 それは「無限遠点」とは言えない。 ユークリッド幾何には、 「無限遠点」は存在し得ないのです。 不完全性定理は、「矛盾の無い」体系について 語っていたのでしたね?

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質問者からのお礼

Alice_44 さん ご回答ありがとうございます。 ゲーデルの不完全性定理は 第1と第2があり、いずれも理論の不完全性を証明したものです。 今 問題にしている無限遠点の公理を使った説明ですが、限りなく延長した点でいいように思うのですが。 Alice_44さんの言われていることは、例えば ∞+1 と∞ の大小を比べ 前者が大きい と言っているようにおもうのです。だから∞はないと言っているように思われます。私には∞+1の意味がわかりません。

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    ゲーデル「不完全性定理」が分かりやすく理解できる本 通学中の電車内に有る「1991年、科学によって神が存在しないことが証明された!」という謳い文句に興味を持ち、一体、その照明方法がどういった手順を踏んだものなのかを調べ初めて早2時間・・・・・。なんつーものに興味を持ってしまったのだろうと若干後悔の渦が・・・・・。 どうにか、この「1991年、科学によって」が、ゲーデルの「不完全性定理」を指しているの・・・・かな?というところまで辿り着きました。という訳で、「じゃあゲーデルの不完全定理を理解すれば、あの宣伝の謳い文句が分かるのかー」と、その定理に関連するサイトを読みかけ・・・・、そんな簡単に理解できるものじゃないコトを認識しました。 気にしなければ、そんなこと知らなくても全く日常生活に支障はないので、忘れてしまえば良いのですが、折角、「不完全性定理」というものの存在を知り、且つ、興味全開なので、出来る事ならば表面上だけでも、齧りだけでも良いので理解してみたいと思っています。 ゲーデルの「不完全性定理」を調べていくうちに、公理・ヒルベルト・公理系・無矛盾性・完全性・パラドクス・・・・・など随所の単語につまづき、その都度、その単語の意味が書いて有る別のページに飛び・・・・・を繰り返し続けているうちに、「これはちゃんとした本で理解した方がいいんじゃないか・・・・」と思ったので質問させてください。 私は一介の高校生なので、ちょっとした専門用語にすら「?」が浮かんでしまいます。不完全性定理を導く過程で必要な用語を解説しつつ、根気と気力が有れば、まあ有る程度理解できるくらいの易しさで書いてある本を紹介してください。また、その定理が生まれるに至った経緯なども豆知識程度に書いて有れば尚嬉しいです。(こちらのページhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1410933224 のpistis_sophia_00さんの回答の様な感じ) 来る夏休み中に読み終えられるような入門的なもので構いませんので、是非よろしくお願いします。 長文・乱文しつれい致しました。

  • ゲーデルの不完全性定理で出てくる「証明できない」

    ゲーデルの不完全性定理の証明に関する本をいろいろ読んでみましたが(あまり厳密なものは読んでいませんが)、どの本を読んでいても理解が先に進まず立ち止まってしまうところがありました。それは、「証明できない」ということの定式化(言葉がこれで正しいのかわかりませんが)についてです。 ある論理式が「証明できる」というのは、使用できる「公理」と「変形規則(推論というのでしょうか、これも言葉が正確かすみません覚えていません)」を有限回使用してその論理式に実際に到達できること、という理解をしており、これは理解できます。 これに対してある論理式が「証明できない」というのは、以下の(A)(B)(C)のどの意味なのでしょうか。 (A)使用できる「公理」と「変形規則」を有限回使用してもその論理式に実際に到達できない、ということ。 (B)その論理式の否定が証明できる、ということ。 (C)その論理式が証明できない、ということを示す何らかの論理式に、使用できる「公理」を「変形規則」を有限回使用して実際に到達すること。 (A)かなとも思いますが、それってどのように理解すればよいのでしょうか。1000回使用して到達できなくても、1001回使用すれば到達できるかも知れないのでは?  (B)ではないと思っていますが自信がありません。 (C)は実際には(A)だったり(B)だったりする?。。判断ができません。 昔の一時期、結構悩みました。現在再チャレンジしていており同じ個所で悩んでいます。もやもやを晴らして頂ければ大変うれしいです。

  • 自然科学は不完全性定理をもコントロールするか

    GPSに特殊相対論と一般相対論による補正がされているというのは有名ですが、とくに一般相対論はリーマン幾何学をもちいています。 リーマン幾何学は非ユークリッド幾何学を扱うことができ、この際、平行線の公理を選択的にコントロールすることで、空間の歪みを叙述することが可能ということがいえるのではないかと思います。 平行線の公理といえば、ゲーデルの不完全性定理が関与するところですが、このようにアインシュタインのような天才は不完全性定理さえも物理学の道具として使いこなした、という印象を私は持っています。この印象は正しいでしょうか。 #ここでの近くのご質問に刺激を受けました。ちょっと筋が違うので新しく質問を立てました。

  • ゲーデルの証明不能命題

     不完全性定理(形式的体系においてその公理と推論規則を使って証明も否定もできない論理式Aが存在する。)にいう論理式Aには例えばどんなものがあるのでしょうか?  いまだ解かれていない数学上の難問がありますが、これらが論理式Aであるかどうかは、結局のところ証明できた時点でしか判定できないのでしょうか。