私がよく分らないのは ゲーデルの第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓに

質問

私がよく分らないのは　ゲーデルの第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓにおいて、形式的体系Ｓが無矛盾である限り、「形式的体系Ｓにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Ｓにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』　と表される（別表現もありますが）とあります。
ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は　『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが　間違っているでしょうか。
問題は　無限遠点が公理を用いて表されるか　どうか　という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと　公理２に線分を限りなく伸ばすことができる　とあります。つまり無限遠点は「公理２の限りなく線分を伸ばした点」と理解され　公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。
＜ユークリッド 幾何学の公理＞
（公理１）与えられた２点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど１つ引くことができる。
（公理２）与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。
（公理３）平面上に２点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど１つ書くことができる。
（公理４）直角はすべて相等しい。
（公理５（平行線公理））直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１本に限る

回答No.7

kabaokaba · ベストアンサー

不思議で不思議でならない．
質問者は「ゲーデルの不完全性定理」
を理解してるんだろうか・・・・
この定理の大事な「前提」を
スルーしているんじゃないのかな．
「自然数論を含む形式的体系」じゃないと
不完全性定理はでてこない．
実際「ゲーデルの完全性定理」ってのもあるんですよ．

前の質問で，証明の粗筋をかいてくれた人がいたでしょう？
そこでは「ゲーデル数」っていうのが大事な働きをしてるという
指摘があったでしょう？
「数」が必要なんですよ，不完全性定理には．
ものすごくぶっちゃけていえば
「完全性定理」と「不完全性定理」の境界は「数」．
ちなみにこの場合の「数」ってのも
きちんと公理系（ペアノ公理系ってのがメジャー）で
定義される「形式体系」．

さて。。。あなたが述べている「ユークリッド幾何の公理」系
（原論の言葉でいえば本当は「公準」であって
原論でいうところの「公理」はべつのもの）は
果たして，不完全性定理の述べるところの
「公理系」なのでしょうか？
つまり，古典的な
「原論の形のユークリッド幾何の公理（公準）」
は，現代的な意味での「公理系」なのか？です．
現代的な意味での公理系であるならば
なぜヒルベルトは「幾何学の基礎」で
ユークリッドの公理系をある意味で「批判」して
新しい体系を提示したのか？
ヒルベルトの意味でのユークリッド幾何でも
果たしてゲーデルの議論に乗せるのには十分なのか？

そもそも「無矛盾な形式体系」であっても
不完全性定理の前提を満たさないものがあるのではないか？

まずはそこらへんから考えないと
そもそも不完全性定理を適用できるか分からないわけです．
＃って。。。実は答えはすでにあるのですが
＃ちょっと調べれば分かるのでスルー．

ちなみに・・・・
不完全性定理のいうところの「決定できない命題」の
自然なものってのは1973年とか1977年ころに
なってでてきたんですよ．
不完全性定理が1931年で，連続体仮説とか
選択公理の方面での命題が1940年近辺の話なので
いかに大変な仕事だったのかが分かりますね．

資料：
・ゲーデルの20世紀シリーズ（東大出版会）
・ゲーデル　不完全性定理（岩波）

ちなみに，私もalice_44さんやTacosanさんと同じで
無限遠点は出てこないでしょうと答えます．
だって「限りなく伸ば」したって，
それからどうなる？ということについて何も述べてない．
演繹できるから大丈夫？
ユークリッド幾何で導ける点って「有限」のところだけでは？
公理系の外部のものが内部で証明できないのは当然です．

お礼

kabaokabaさん　ご回答ありがとうございました。

私は数学者ではなく　たんにゲーデルの第１不完全性定理の身近な命題がないのか　から出発しております。ユークリッド幾何学では　どうなっているのか　ということから　私なりに考えた　ということです。
ご指摘のように　無限遠点の理解が　まったく間違いであるなら　考えた命題も意味がありません。
おそらくはユークリッド幾何学では　そのような命題はない　のでしょう。

ご指摘のように　奥深いゲーデルの不完全性定理　から勉強してみます。ありがとうございました。

回答No.6

Tacosan

#3 への「お礼」は全く答えになってない.
・線分AB を「A の方に伸ばした先」と「B の方に伸ばした先」というのは, 普通に考えれば違うとするのが妥当でしょう. で, あなたの言う「無限遠点」なるものは, 「A の方に伸ばした先にあるもの」と「B の方に伸ばした先にあるもの」とで同じものなのですか? 違うものなのですか? 「同じ」か「違う」か, どちらかをきちんと決める必要がありますよ.
・2つめも同じこと. 線分AB を伸ばした先にある「無限遠点」と線分CD を伸ばした先にある「無限遠点」は同じものなのですか? それとも違うものなのですか? これも, 「同じ」か「違う」かをきちんと決めてください.
・最後の点には全く答えられていませんね. 再度聞きましょう. 「無限遠点」は「点」なのですか? それとも「点ではない」のですか?
「無限遠点」を議論するためには, これらはすべてきちんと定義しておく必要があります. ここを曖昧にしたままでは, 議論の俎上に載りませんよ. 答えられないようでは, 「『無限遠点』をきちんと定義した」とは到底いえません.
もちろん定義する気がないならそれでもかまいませんが, もしそうなら「『無限遠点』をきちんと定義する気はない」とはっきり宣言してください.

回答No.5

alice_44

＞ ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが、
＞ 無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。

No.1 No.4 を全く読んでいないのか。ガッカリ。

ユークリッド幾何に、「公理２の限りなく線分を伸ばした点」なるものを
付け加えると、No.4 のように矛盾が出てくる。よって、
ユークリッド幾何が無矛盾であれば、その公理系から無限遠点の存在を
導くことはできない。

お礼

無限遠点は　無限の遠方にある点であり　そこには有限でのユークリッド幾何学が成り立つかどうか分っていない　と理解します。そこで　限りなく線分を延ばした点の理解ですが　私は無限の遠方にある点　と理解したのです。しかし、ご指摘のように　この理解が間違っているなら　無限遠点は導かれないでしょう。

回答No.4

alice_44

←No.1 補足では、
ポイントがズレている。

公理2 は線分が延長できることを述べており、
限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、
「無限遠点」から先へ延ばすことも可能
でなければならない。それでも、まだ
「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえるのか。

公理系が矛盾を含めば、不完全性定理の
対象外だろうと指摘したのだった。

お礼

Alice44さん　ご回答ありがとうございます。
公理系が矛盾している　場合は　ご指摘のように論理構成ができない　わけで　不完全性定理の対象外です。
ユークリッド幾何学の公理群は矛盾している　とは聞いたことがありません。無限遠点は　公理ではありません。無限遠点は公理２あるいは公理２と公理１を用いることで演繹される　のではないでしょうか。ご指摘の『限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、「無限遠点」から先へ延ばすことも可能でなければならない。』という理解が有限域の理解と思います。ですから『「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえる』になると考えます。そこでは有限域の例えば　大小関係は意味をなさないと思います。
ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが　無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。
無限遠点ではなく　ゲーデルの第2不完全性定理のユークリッド幾何学の別命題を示して頂けた　助かります。

補足

すみません。文の終わり近く　ゲーデルの第２不完全性定理は第1不完全性定理のまちがいです。かくところがなく　ここに書き込みました。すみませんでした。

Alice44さん　ご回答ありがとうございます。
公理系が矛盾している　場合は　ご指摘のように論理構成ができない　わけで　不完全性定理の対象外です。
ユークリッド幾何学の公理群は矛盾している　とは聞いたことがありません。無限遠点は　公理ではありません。無限遠点は公理２あるいは公理２と公理１を用いることで演繹される　のではないでしょうか。ご指摘の『限りなく延ばした先に「無限遠点」を置くとすれば、「無限遠点」から先へ延ばすことも可能でなければならない。』という理解が有限域の理解と思います。ですから『「無限遠点」が「限りなく延ばした先」といえる』になると考えます。そこでは有限域の例えば　大小関係は意味をなさないと思います。
ユークリッド幾何学の公理群からは、無限遠点の概念は演繹されるが　無限遠点における理論構成は十分には出来ないことではないでしょうか。
無限遠点ではなく　ゲーデルの第2不完全性定理のユークリッド幾何学の別命題を示して頂けた　助かります。　

投稿日時 - 2010-03-05 21:21:21

回答No.3

Tacosan

後で気づいたんだけど, ある意味 #2 って「枝葉」だった....
とりあえずあなたのいう「無限遠点」には未定義なことがまだまだあります:
・異なる 2点 A, B を端点とする線分を考え, この線分を公理2 で伸ばして直線AB を得たとします. 当然ですが, 公理2 で伸ばす方向は 2方向あります. すると「限りなく伸ばした点」は 2点存在するのが自然だと考えられるのですが, それでいいですか?
・さらに 2点 C, D を取ります. 一般性を失うことなく B, C, D は全て相異なると仮定してかまいません. このとき, 直線CD は自明に直線AB とは異なります. 直線AB に対する「無限遠点」と直線CD に対する「無限遠点」とは, どのような関係にあるのでしょうか?
・非常に重要な問題なのですが, 「無限遠点」は「点」なのですか?

お礼

Tacosanさん　ご回答ありがとうございます。ご質問のA端の点かB端の点か　はどちらでもいいと考えます。A端だけ　限りなく延ばしてもよく　あるいは　B端だけ　限りなく延ばしてもよく、あるいは　両端を限りなく延ばしてもいいと考えます。重要なことは限りなく延ばしたということです。
もう一つの有限域で相異なる直線ABと直線CDをとりあげ　直線ABの無限遠点と直線CDの無限遠点とはどのような関係かという　ご質問ですが　交わるのか交わらないのか　が問われているように思います。この答えは　正にゲーデルの第１不完全定理の命題の一つと思います。交わるとしても交わらないとしてもユークリッド幾何学では証明できない　ということと思います。無限という概念は公理から演繹されますが　無限域で演繹される理論構造になってない　ということではないでしょうか。

回答No.2

Tacosan

いや, 整数 (や実数) に翻訳して言えば次のように見えるのだが.
あなた: ∞という値が存在する
#1: そんな値は存在しない

そもそも「公理２の限りなく線分を伸ばした点」は日本語としておかしい. 確かに公理2 では「与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる」と述べているが, この操作の結果として得られる「限りなく線分を伸ばしたもの」は直線 (ないし半直線) であって「点」であることはありえない.
つまり「公理２の限りなく線分を伸ばした点」というのは定義の体をなしていない.

お礼

Tacosanさん　ご回答ありがとうございます。
無限遠点を公理を使って説明できるか　ということですが　公理２のみでは　点の説明は無理かもしれません、が公理１では点と線の説明があります。公理２と公理１を使えば　説明できる　と思います。要は無限
という概念が公理から演繹されるかということと　演繹されるとゲーデルの第１不完全性定理の幾何学の例題が分りやすい　ということです。

また∞を整数（実数）と同じように扱ってはいません。

回答No.1

alice_44

間違っています。

ユークリッド幾何においては、
貴方も書いているように、
直線は、どこまでも延ばすことができます。
その先の何処に「無限遠点」を置いたとしても
まだ先へ延長できるのだから、
それは「無限遠点」とは言えない。

ユークリッド幾何には、
「無限遠点」は存在し得ないのです。

不完全性定理は、「矛盾の無い」体系について
語っていたのでしたね？

お礼

Alice＿44　さん　ご回答ありがとうございます。
ゲーデルの不完全性定理は　第1と第2があり、いずれも理論の不完全性を証明したものです。
今　問題にしている無限遠点の公理を使った説明ですが、限りなく延長した点でいいように思うのですが。

Alice＿44さんの言われていることは、例えば　∞＋１　と∞　の大小を比べ　前者が大きい　と言っているようにおもうのです。だから∞はないと言っているように思われます。私には∞＋１の意味がわかりません。