- ベストアンサー
「幾何学基礎論」定理８の証明
ヒルベルト「幾何学基礎論」の定理８「一平面αの上にある任意の直線aはこの直線上にない平面αの点を次の性質を有する二つの領域に分かつ：即ち相異なる領域からそれぞれ任意の一点Ａ、Ｂをとるとき、それの定める線分ＡＢの上には直線aの点が存在し、同一の領域からとった任意の二点Ａ、Ａ‘の定める線分ＡＡ‘はaの点を含まない。」この定理の結合公理と順序公理のみからの証明をご存じの方がいれば教えてください。お願いします。
- karitunakisu
- お礼率100% (5/5)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
「幾何への誘い」小平邦彦著 （岩波現代文庫） という文庫本の中に「パッシュの公理」を用いる証明が紹介されているので読んでみられては如何・・！？
関連するQ&A
- 「幾何学基礎論」順序の公理II４について
ヒルベルトの「幾何学基礎論」の順序の公理II４は、「Ａ，Ｂ，Ｃを一直線上にない三点、aを平面ＡＢＣ上にあってＡ，Ｂ，Ｃのいずれをも通らない直線とせよ。直線aが線分ＡＢの点を通ればこれは又線分ＡＣもしくは線分ＢＣの点を通る。」というものですが、ヒルベルトが言うには線分ＡＣと線分ＢＣが同時に直線aに交わり得ぬ事は証明できるそうです。この事の証明をご存じの方がいれば、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 私がよく分らないのは ゲーデルの第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓに
私がよく分らないのは ゲーデルの第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓにおいて、形式的体系Ｓが無矛盾である限り、「形式的体系Ｓにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Ｓにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される（別表現もありますが）とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。 問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理２に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理２の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。 ＜ユークリッド 幾何学の公理＞ （公理１）与えられた２点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど１つ引くことができる。 （公理２）与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。 （公理３）平面上に２点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど１つ書くことができる。 （公理４）直角はすべて相等しい。 （公理５（平行線公理））直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１本に限る
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。
私が知りたいのは ゲーデルの不完全性定理の幾何学での理解です。 (1)第２不完全性定理では 次の表現があり『公理系Ｎにおいて、その無矛盾性を証明することは不可能である』、そのなかで問題として『 真であるが証明不可能な主張とは何か。』に対して 答え『公理』とあり 自己言及を表現していることは 理解し易いのです。幾何学では５公理です。この理解はたぶん正しいと思います。 ところが (2)私がよく分らないのは 第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓにおいて、形式的体系Ｓが無矛盾である限り、「形式的体系Ｓにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Ｓにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される（別表現もありますが）とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 「例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である」はその例のようにおむのですが。つまり 例題には ユークリッド幾何学では未定義の無限遠点が現れており 証明はできない のです。いくら公理を増やして定義を明白にしても 未定義の領域はある ということです。 もう一つの例ですが 無限遠点は扱わないという６番目の公理を追加したとしても 例えば 「X・X＝－１ は根がない は証明可能である」も証明できない と思うのです。なぜなら複素数は未定義だからです。つまり 『公理で定義されても未定義域は必ずある』が第一不完全性定理の一つの別表現ではないか と思うのです。この理解が間違っているのかどうか どなたかにお教えて頂きたかったのですが
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について
ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Ｎが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は 一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である 公理Ｎの無矛盾である 論理の対象になってないとなり それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Ｎが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると（須田隆良氏、中西章氏など） (1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが 公理系Ｎにおいて、「公理系Ｎにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Ｎにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である (2)第２不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが その無矛盾性を証明できない となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい と思うのです。 (2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。 (1)によりユークリッド幾何学の未定義領域（非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか）は 公理系Ｎにふくまれ 多くの証明できない命題があることになります。もちろん 公理定義内では完全性理論は保証されています。 なぜ このようなユークリッド幾何学に こだわる かと申しますと 世の中の 論理（数学、哲学、論理を用いた論文 など）は ユークリッド幾何学的なものが 圧倒的に多いと思うのです。これら論文は ほとんどは一階述語理論で表され かつ ゲーデル不完全性定理 対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない ということは重要であると思うのです。もちろん 自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません が 常に 冷静に謙虚に 主張理論の原点を見直すことに 繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは 論外であります。 以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学ほこ×たて対決：モーレーの定理vs初等幾何
にゃんこ先生といいます。 任意の三角形の角の3等分線を引いてできる内部の三角形は、正三角形になるというモーレーの定理があります。 定理の簡潔さの反面、証明は難しく、中学生くらいだと誰にも解けないといわれています(話の筋で今はそういわせて下さい)。 一方、直線や円などを扱う初等幾何(平面幾何)は、ユークリッド原論などによって発展し、公理を用いて(時には補助線を引いて)演繹し、どんなものでも解けるといわれています(話の筋で今はそういわせて下さい)。 では、それらが対決したらどうなるのでしょうか。 モーレーの定理を、三角関数などの高校の知識を使わずに、中学で習うような知識だけで解けるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 初等幾何 三垂線の定理について
初等幾何の三垂線の定理を証明しようとしています。 証明するのは次の命題です。 平面αに垂直な直線hをおき、α上の交点をHとおく。 また、h上の点Oから平面α上の点P、及びPを通る直線lを引く。 OP⊥l ⇒ PH⊥l この証明の解法として、次のような証明がされることがありますが、内容が理解できません。 どなたかご教授願います。 線分OHを反対方向にOHと同じ長さ分延長してH'を定める。 ところで、三角形OPH'は二等辺三角形。したがって、OP＝H'P また、l上に点Aをおく時、 △OAH'も二等辺三角形である。したがって、OA＝H'A 以上から、△OPA≡△H'AP。したがって、∠APH'は直角。 よって、APは直線OPにも直線H'Pにも垂直であるので、 APは面OPH'に垂直。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 線分HPは平面OPH'に含まれるので、AP⊥HP ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 従って、PH⊥l (理解できない理由：OPH'が平面になることが証明できないのでは? 図を描いても、平面にはなりません。) 例えば、以下のページでほぼ同様の解法で証明としています。 http://homepage3.nifty.com/ooiooi/tyuukeisannsui.htm http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Note/np505.pdf よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか？
そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか？ いいかえると、真実なのでしょうか? これは、実は簡単にわかります。証明できません。 なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。 だから、ピタゴラスの定理っていうのは、定理ではなくて、 普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。 ではなぜ、世の中にたくさんある「ピタゴラスの定理の証明」なるものはなんなのでしょうか？ それは、ユークリッド幾何学を特徴づけるピタゴラスの定理よりも、 よりも基本的な公理を仮定していなければなりません。 一般的には、第五公準(平行線は唯一唯一つ)ってのがそうだと思われます。 しかし、その前に、点とか直線とか、距離とか、角度とか、合同とか、たくさんの概念が定義されなくてははなりません。 ところで、数学基礎論では、まず、集合とその間の演算を公理的に定義し、また、自然数と和や積を定義します。 それによって、数論の基本的な結合法則、可換法則、分配法則といったものも、「証明できる」ものになります。 １＋１＝２というのも「証明できる」ものになります。 同じようにしていけば、ピタゴラスの定理って基礎論的に、公理的に、「証明できる」定理なのでしょうか？ 実は、「幾何学基礎論」という本を軽く読んだり、いろいろ検索してみたのですが、ピタゴラスの定理は載ってませんでした。 もしかして、ピタゴラスの定理っていうのは、基礎論的にも、公理的にも、「証明されていない」ものなのでしょうか？ ちなみに、sinθ, cosθを、無限級数の和として定義してやって、 それによってユークリッド幾何の回転を定義し、sin^2θ+cos^2θ=1となるので「証明できた」というのは、たぶん、万人は認めないと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中1 幾何学の問題です。
中1 幾何学の問題です。 点Ａ、Ｂから等距離にある点は、線分ＡＢに（ ）で線分ＡＢを（ ）する直線状にある点である。 ()の中がわかりません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ヒルベルトの点・直線・平面の「定義の仕方」について
『高校数学＋α：基礎と論理の物語』（著: 宮腰忠）という書籍がPDFファイルになったもの↓ 第1章 数 http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_1.pdf を読んでいるのですが、27～28ページに、 19世紀末期，ドイツの数学者ヒルベルト（DavidHilbert,1862～1943）は，著書『幾何学基礎論』において，点・直線・平面が関係するある公理系を提唱しました．彼は，点・直線・平面といった基本的対象，および，‘存在する’，‘の間に’，‘と合同’といった基本的関係を「基本概念」と考えて，それらに直接的な定義を与えず，基本概念は，その公理系の中で，それらが満たすべき条件によって間接的に定義されていると見なしました．つまり，点・直線・平面は，公理系に述べられている，それらの間の相互関係によって定義され，また‘存在する’，‘の間に’，‘と合同’などの基本的関係も定義されるというわけです．このようなことはペアノの公理系が自然数を定義するだけでなく，未定義な‘次の者’n′から‘1を加える’演算が自然に定義されたことに対比できるでしょう． 彼が友人の数学者と酒場でビールを飲みながら，“点・直線・平面という代わりに，テーブル・椅子・ビールジョッキと言うことができる”といったことは有名です：公理系の中で，点・直線・平面の用語を，例えば，T・C・Hと置き換えたとしましょう．まず，T・C・Hは公理系の中で，それぞれ，点・直線・平面が満たすべき基本的性質を当然ながら満たします．次に，T・C・Hに課せられた公理系の条件によって，理論は公理系のみから完全に演繹的に展開され，T・C・Hに課せられた一連の定理が得られます．それらの定理は点・直線・平面が満たすべき定理に一致します．したがって，T・C・Hは，それぞれ，点・直線・平面と同一視せざるを得ないことになります．このことを指して，点・直線・平面は間接的に定義されているというわけです．このような定義の方法はまさに究極の定義といえるでしょう．点・直線・平面などの基本概念は，直接的定義を必要としない「無定義用語」になりました． という文章があるのですが、どういう事なのでしょうか？ 「間接的に定義する」というのは、27ページ下部に載っているような公理群を考え、それを満たすようなものとして点・直線・平面を定義する訳ですよね？ でも点・直線・平面を、T・C・Hと置き換える必要性が良く分かりません。 「『点・直線・平面を間接的に定義する公理群』から導かれる定理」と「『T・C・Hを間接的に定義する公理群』から導かれる定理」が一致するという事ですか？ 仮にそうだとしてもただの言い替えな気がしますし…。 22ページには「かなりレベルが高い内容なので，‘お話’と考えて‘フーン，そういうことか’程度の理解で十分でしょう．」とも書かれていますし、高校数学レベルでは理解するのは無茶ですかね？ 回答宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- メラネウスの定理？中学幾何
四角形ABCDにおいて角DCBの外角の二等分線と直線BDの交点をP 角ACD、角BCAの二等分線がAD、ABと交わる点をQ、Rとする。 このとき、P,Q,Rは同一直線上にあることを証明せよ。 どうやら「『メラネウスの定理』を組み合わせて解くらしい」とはわかってるのですが、 実際にどのように適応するのかさっぱり判じえません。 このあたりの平面幾何にお詳しい方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。早速参照してみましたら、仰るようにパッシュの公理による完全な証明が載っていました。良い本を教えて頂きありがとうございました。