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ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について

ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Nが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は 一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である 公理Nの無矛盾である 論理の対象になってないとなり それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Nが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると(須田隆良氏、中西章氏など) (1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが 公理系Nにおいて、「公理系Nにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Nにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である (2)第2不完全性定理の解釈==>公理系Nが無矛盾であろうがなかろうが その無矛盾性を証明できない となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい と思うのです。 (2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。 (1)によりユークリッド幾何学の未定義領域(非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか)は 公理系Nにふくまれ 多くの証明できない命題があることになります。もちろん 公理定義内では完全性理論は保証されています。 なぜ このようなユークリッド幾何学に こだわる かと申しますと 世の中の 論理(数学、哲学、論理を用いた論文 など)は ユークリッド幾何学的なものが 圧倒的に多いと思うのです。これら論文は ほとんどは一階述語理論で表され かつ ゲーデル不完全性定理 対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない ということは重要であると思うのです。もちろん 自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません が 常に 冷静に謙虚に 主張理論の原点を見直すことに 繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは 論外であります。    以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • alice_44
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公理系Nが、矛盾と、三段論法とを両方含むなら、 任意の命題が、公理系Nにおいて証明可能となる。 「ある命題が、公理系Nにおいて証明可能である」 という命題も含めて。

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質問者からのお礼

質問後1Wになります。ANo.1さん お一人のコメントでしたが  私の理解が 了解されたものと思います。さらにコメントがないことも私の理解が 了解されたものと思います。 読者諸氏に感謝します。

質問者からの補足

ANo.1さんにお尋ねします。矛盾しているユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学からなるX幾何を考えます。さてその中で未定義領域の複素数の命題 例えば「exp(iθ)=cos(θ)+i・sin(θ)」は三段論法でどう証明するのでしょうか。

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