ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について

質問

ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について
ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Ｎが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は　一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である　公理Ｎの無矛盾である　論理の対象になってないとなり　それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Ｎが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると（須田隆良氏、中西章氏など）

(1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが　公理系Ｎにおいて、「公理系Ｎにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Ｎにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である
(2)第２不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが　その無矛盾性を証明できない

となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい　と思うのです。
(2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。
(1)によりユークリッド幾何学の未定義領域（非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか）は　公理系Ｎにふくまれ　多くの証明できない命題があることになります。もちろん　公理定義内では完全性理論は保証されています。

なぜ　このようなユークリッド幾何学に　こだわる　かと申しますと　世の中の　論理（数学、哲学、論理を用いた論文　など）は　ユークリッド幾何学的なものが　圧倒的に多いと思うのです。これら論文は　ほとんどは一階述語理論で表され　かつ　ゲーデル不完全性定理　対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない　ということは重要であると思うのです。もちろん　自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません　が　常に　冷静に謙虚に　主張理論の原点を見直すことに　繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは　論外であります。

以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

公理系Ｎが、矛盾と、三段論法とを両方含むなら、
任意の命題が、公理系Ｎにおいて証明可能となる。
「ある命題が、公理系Ｎにおいて証明可能である」
という命題も含めて。

お礼

質問後１Wになります。ANo.１さん　お一人のコメントでしたが　　私の理解が　了解されたものと思います。さらにコメントがないことも私の理解が　了解されたものと思います。　読者諸氏に感謝します。

補足

ANo.１さんにお尋ねします。矛盾しているユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学からなるX幾何を考えます。さてその中で未定義領域の複素数の命題　例えば「exp（iθ）＝cos（θ）＋i・sin（θ）」は三段論法でどう証明するのでしょうか。