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ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルの不完全性定理の証明のアイデアが知りたいと思い、適当な入門書(基礎論の教科書ではないです。)を読んでいるのですが、 まず、定理の主張が「形式的体系Tで通常の自然数を含み、強い意味で無矛盾であり、そこにおける公理や推論規則は帰納的に定義されているかまたはその数が有限であるようなもの、においては文GでGも¬Gも証明できないものが存在する。」 とあるのですが、形式的体系Tがなにを意味しているのかがよくわかりません。これは、形式的と書いてあるのだから文字通り「意味を考えない記号の世界(記号の集まりと、記号を並べて得られる列を変形するいくつかの規則)」と考えればよいのでしょうか? それで、もう一つ質問があるのですが、 まず、準備として記号 ¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zを用意して、 x,y,zを変数記号と呼びます。 それで、項を次のように定義します。 (i) 0,x,y,zは項。 (ii) t,sが項であるとき、'(t),+(t,s),×(t,s)は項。 (iii)このようにして得られるものだけが項。 (iV)'(t),+(t,s),×(t,s)を簡単にそれぞれt',t+s,t×sと記したりする。また、0',0'',0''',…をそれぞれ1,2,3,…と記す。 また、項tを上の記号の括弧としてではなく、見易さのための補助記号としての(,)を用いることにより、しばしばt(x,y,z)と記したりする。 次に論理式を次のように定義します。 (i)t,sが項のとき、t=sは論理式。 (ii)φとψが論理式でxが変数記号のとき、(¬φ),(φ∧ψ),(φ∨ψ),(φ→ψ),(∀xφ),(∃xφ)は論理式。 (iii)このようにして得られるもののみが論理式 (iV)見易さのために括弧を適当に省略して論理式を記すこともある。 以上により、与えられた記号列が項か論理式かそれ以外のものか判定できるようになります。 準備した記号¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zを普通に解釈することで、論理式の意味を考えることができるようになります。 ただし、'は後者関数と解釈します。 次に、¬,∧,∨,→,∃,∀,(,),0,',+,×,=,x,y,zに 素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53を割り当てます。 記号列が与えられたとき、各記号を上記の対応に従い素数n_1,n_2,n_3,…に置き換え、2^(n_1)*3^(n_2)*5^(n_3)*…を対応させます。対応する数をゲーデル数と呼びます。 以上で準備は終わりで、 質問ができるのですが、 「mがTのある論理式のゲーデル数である」という非形式的な主張は mを素因数分解して各素数の指数を調べることである論理式のゲーデル数であるかどうかがチェックできるので、解釈すると「mがTのある論理式のゲーデル数である」という意味になる論理式が作れる、とあるのですが"具体的"にはどのようにして作るのでしょうか? 私は、論理式の定義が再起的であるから、「mがTのある論理式のゲーデル数であるかどうか」をコンピュータに判定させること(とてつもなく時間がかかりそうですが)可能だと思うので上のような論理式は作れると思うのですが、実際に作るとどんな論理式になるのか興味があります。

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  • 回答No.5

細かい点に間違いがあるかも知れませんがご容赦ください。またご指摘頂ければ幸いです。 「自然数mが論理式のゲーデル数である」という命題はpを素数とすると,mを素因数分解したときのpの指数を調べなければなりませんので,次の命題を形式化しなければならないはずです。 「pが素数である」 「mを素因数分解したときのpの指数がnである」 最初の方は簡単だと思われますので,後者の方を少しだけ述べます。 準備として,次の命題がそれぞれ右の様に形式化できます。 a|b(自然数bが自然数aで割り切れる) : ∃c (a×c=b) 自然数bが自然数aで割り切れ,商がcである:a×c=b a<b : ∃c ( S(c) + a = b ) これから「mを素因数分解したときのpの指数がnである」という命題を形式的に表現しますが,まずその方針を述べます。mが何回pで割り切れるかを調べれば良いのですが,簡単の為pがmの素因数でない場合を省いて考えます。  t, a_1, a_2, ... , a_t が存在し  m=a_1, a_1=p×a_2, a_2=p×a_3, .. ,a_i=p×a_(i+1), ... ,a_(t-1)=p×a_t であり  ¬(p|a_t)のとき,  t-1 が求める指数になりますね。 ここで次の事実を用います。 ゲーデルのβ関数と呼ばれる3変数関数β(c,d,i)があって(2変数のものもあるようです), 命題 a=β(c,d,i) は体系内の論理式として表現でき, 任意の自然数の有限列 t, a_1, a_2, ... ,a_t に対して,ある自然数c,dが存在し t = β(c,d,0), a_i = β(c,d,i) (for all i ≦ t) となる。 これを用いますと, ∃(t,a_1,a_2,...,a_t)と書くことが体系内で出来なくても ∃c ∃d ( m=β(c,d,0) ∧ ∀i ( i<t → β(c,d,i) = p×β (c,d,i+1)) ∧ (n+1=t) ) と書くことによって求める命題が体系内で表現できたことになります。 目的の「自然数mが論理式のゲーデル数である」という命題ですが,論理式を構成しているのは述語「 = 」とその両辺の項が基本ですから,まず,「自然数mが項のゲーデル数である」という命題を term(m) とするとき,これを表現する必要があると思われます。項というのは ((x+y)×(S(S(z))))の様に構成されるものですから,n<t なるnについて term(n)が定義されたとすると,nの表す記号列を[n]で表すと, term(t) :  t は それ自身新しい変数のゲーデル数であるか,  ∃r ( r<t ∧ term(r) ∧ tは記号列(S([r]))のゲーデル数) であるか,  以下同様 の様にすれば良いと思われます。この様に帰納的に定義されている場合β関数を用いて表現できそうです。 これが問題なければ,目的の「自然数mが論理式のゲーデル数である」という命題も同様の手法で表現できると思われます。

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  • 回答No.4
  • tgb
  • ベストアンサー率77% (31/40)

たびたびの誤りで申し訳ありません。以下のように訂正をお願い致します。 C2: (b∈R) → (        -------->(b∈K)∨を削除、以下でaをbに変更 (∃f∃g( ((f∈K∧g∈K)∧((b=[f=g]))) ∨((f∈R∧g∈R)∧ ((b=[f∧g])∨(b=[f∨g)])∨(b=[f→g])∨(b=[¬f])) ∨((f∈H∧g∈R)∧ ((b=[f∀g])∨(b=[f∃g])) -------->[f∃g)]を[f∃g]に変更 )) )

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  • 回答No.3
  • tgb
  • ベストアンサー率77% (31/40)

誤りに気づいたので申し訳ありませんが訂正させて頂きたいと思います。 (1)全論理式の集合を定義してこれを利用するもの において前回のK、Rでは [(iii)このようにして得られるものだけが項(論理式)] と言う条件が考慮されていない事になります。 これを考慮するためには、以下のように変更すればよいと思います。 (もっとうまい方法があるかも知れませんが、ここでは、単純に余分な要素を含ませないような操作を追加しています) C1: (a∈K) → ((a∈H)∨ (∃f∃g( ((f∈K∨f∈H)∧(g∈K∨g∈H))∧ ((a=['(f)])∨(a=[+(f,g)])∨(a=[X(f,g)])) )) ) C2: (b∈R) → ((b∈K)∨ (∃f∃g( ((f∈K∧g∈K)∧((a=[f=g]))) ∨((f∈R∧g∈R)∧ ((a=[f∧g])∨(a=[f∨g)])∨(a=[f→g])∨(a=[¬f])) ∨((f∈H∧g∈R)∧ ((a=[f∀g])∨(a=[f∃g)])) )) ) 記号列を[]で囲んでいます。 言葉で説明すると、例えばC1については、 K(項)に余分なものを紛れ込ませないために最小の記号列の場合にはHに属するよう制約を設けています。最小でない場合は必ずより小さなK内の記号列を使って規則で許されているパターンのいずれかで表されるとしています。最小であるか否かは単純に2つのケース(最小or最小でない)を"∨"で結んでおけば自動的にどちらかに割り振ってもらえるとしています。C2についても同様な考え方です。 求める論理式は ∃K∃R∀x∀y∀u∀v∀a∀b∀Φ((t∈R)∧K0∧K1∧K2∧K3∧R0∧R1∧R2∧R3∧R4∧R5∧R6∧C1∧C2) ※f,gはa,bに依存して決まります。

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  • 回答No.2
  • tgb
  • ベストアンサー率77% (31/40)

>「作れる論理式は」は「Tでの論理式全体」にかかっているのですか? >それとも、「何でも良く特別のものではありません。」にかかっているのですか? 両方にかかっているつもりでした。 しかし、誤解に基づいていたので今となっては意味を成しません。 誤解の根本は 「mがTのある論理式(a)のゲーデル数である」という意味になる論理式(b)が作れる の中の論理式に対し、私は a=bで共にTの中での論理式と考えていました。おまけに、 「mがTのある論理式(a)のゲーデル数である」という[ような](<--[意味になる])論理式(b)が作れる と修正解釈してしまいました。 このような解釈には無理があるようで、回答するときもご質問の意図がはっきりしないと考えていました。この場合、問題が単純になるので質問者さんが何か勘違いしている可能性があると考えたのですが、私の誤りでした。お礼欄を読んで、御質問の趣旨が論理式(b)はT内と言う事ではなく、「mがTのある論理式(a)のゲーデル数である」と言う内容を一般的な意味での論理式(即ち論理式(b))で表現できないかと問うている事が理解できました。 そこで、改めて本題ですが、 「mがTのある論理式(a)のゲーデル数である」 と言うのは数値と記号列の変換がゲーデル数の考えにより一意に変換できる事を考えると 「tがTのある論理式である」 と置き換えてこれを論理式(b)で表現する問題に置き換えても本質的には同じでしょう。 (ゲーデル数のアイデアが秀逸で上の変換が簡単になるようになっている) 以下では、この変更された問題を考えてみます。 先ず論理式での表現として様々な方法があるだろうと思われます。 質問者さんはすっきりした表現を望んでおられると思いますが、そういう訳にも行かず、どうにか思いついたものを書いてみます。 (1)全論理式の集合を定義してこれを利用するもの mに対応する記号列をtとします。 H={0,x,y,z} K0:(u∈H)→(u)∈K K1:(u∈K)→('(u))∈K K2:(u∈K∧v∈K)→(+(u,v))∈K K3:(u∈K∧v∈K)→(X(u,v))∈K R0:(x∈K∧y∈K)→(x=y)∈R R1:(x∈R∧y∈R)→(x∧y)∈R R2:(x∈R∧y∈R)→(x∨y)∈R R3:(x∈R∧y∈R)→(x→y)∈R R4:(x∈R)→(¬x)∈R R5:(x∈H∧Φ∈R)→(∀xΦ)∈R R6:(x∈H∧Φ∈R)→(∃xΦ)∈R   ※以上では論理式と記号列がごっちゃになっていますのでご注意!   (最左の→の右側の()内が記号列です) ∃K∃R∀x∀y∀u∀v∀Φ((t∈R)∧K0∧K1∧K2∧K3∧R0∧R1∧R2∧R3∧R4∧R5∧R6) これは実質的には再帰的にKおよびRを定義してそのRに対してt∈Rであるとしています。 UとKを一緒くたにして定義しているのが気持ち悪いので何らかの改良を加えた方がよいかも知れません。 (2)与えられた記号列が論理式である事を判定する関数を定義してこれを利用するもの 関数を利用した表現を考えてみます。 記号列tを与えて論理式であるかどうか判定して1(論理式の場合)または0(論理式でない場合)を 返す関数Fを再帰的に定義し、 F(t)=0 を論理式とします。 先ず"(",")"は省略を許さないものとします。省略があるなら前もって省略のない記号列に変換しておく事を前提として考える事にします。 ●項に関する関数K(t)について K(t)をtの判定ノより1(項である場合)または0(項でない場合)を 返す関数とします。 tのいちばん外側の括弧に着目して 1:t='(tn)の場合 2:t=+(tl,tr)の場合 3:t=X(tl,tr)の場合 0:上のいずれでもない に分類されます。 0の場合:  tが0,x,y,zのいずれかならK(t)=1  そうでなければK(t)=0 1の場合:  tからtnを取り出して  K(tn)=0ならK(t)=0  K(tn)=1ならK(t)=1 2,3の場合:  tからtl,trを取り出して  K(tl)=1かつK(tr)=1ならK(t)=1  そうでないならK(t)=0 ●次にK(t)を利用して論理式に関する関数F(t)を定義します。 tのいちばん外側の括弧に着目して 1:t=¬(tn)の場合 2:t=(tl∧tr),t=(tl∨tr),t=(tl→tr)の場合 3:t=(∀x(tn)),t=(∃x(tn))の場合 4:t=(tl=tr)の場合 0:上のいずれでもない に分類されます。 0の場合:  F(t)=0 1,3の場合:  tからtnを取り出してF(tn)=1ならF(t)=1  そうでなければF(t)=0 2の場合:  tからtl,trを取り出して  F(tl)=1かつF(tr)=1ならF(t)=1  そうでないならF(t)=0 4の場合:  tからtl,trを取り出して  K(tl)=1かつK(tr)=1ならF(t)=1  そうでないならF(t)=0 ●以上でF(t)が定義できたのでこのように定義された関数に対し、  F(t)=1  が論理式となります。

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  • 回答No.1
  • tgb
  • ベストアンサー率77% (31/40)

以下のコメントは質問に関連した深い知識に基づいて書いたものではなく、質問文の内容に基づいて考えられる事を書いたものです。 >実際に作るとどんな論理式になるのか興味があります とありますが、作れる論理式はTでの論理式全体ということであって、論理式の生成規則に従って作られるものであれば何でも良く特別のものではありません。と言うか、記号列全体の集合を自然数の部分集合(ゲーデル数からなる集合)に対応させるのがゲーデル数の考え方のようです。論理式になるかならないかはmがゲーデル数であることをチェックした上で(mに対応する論理式があるための必要条件)、更にmがゲーデル数であるならmに対応する記号列が一意に決定できるのでその記号列が論理式としての条件を満たすか否か論理式の生成規則に照らし合わせるチェックを重ねて行う事によって決定されると思います。 ・自然数の集合 <--> ??? ・ゲーデル数の集合 <--> 記号列全体の集合 ・対応する論理式が存在するようなゲーデル数の集合 <--> 論理式となる記号列の集合 自然数mが与えられたとき、 mがゲーデル数であるか否かは素因数分解により簡単に(アルゴリズムとして簡単に)チェックできます。 mがゲーデル数ならそれに対応する記号列が決まります(その記号列は先の素因数分解によりそのまま記号列に置き換えられます)。 記号列をチェックする事によりその記号列が論理式であるか否かが決定されます。 例えば、 例1:  m=2^23・3^41・5^23 はゲーデル数である事が分かり、対応する記号列は  0=0 です。この記号列は論理式の生成規則に照らして論理式である事が分かります。 (論理式の生成規則によって生成される任意の論理式に対してゲーデル数が計算でき、 論理式から計算されるゲーデル数に対応する記号列としては元の論理式が得られます。) 例2:  m=2^23 はゲーデル数であり、対応する記号列は  0 となりますが論理式ではありません。 例3:  m=3^41  m=2^24 はいずれもゲーデル数でなく、対応する記号列は存在しません。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 >作れる論理式はTでの論理式全体ということであって、論理式の生成規則に従って作られるものであれば何でも良く特別のものではありません。 おっしゃっていることの意味がよくわかりません。 「作れる論理式は」は「Tでの論理式全体」にかかっているのですか? それとも、「何でも良く特別のものではありません。」にかかっているのですか? 前者だとして解釈すると、論理式(記号列)がTでの論理式全体 となってしまい意味がわかりません。後者だとして解釈すると、 >実際に作るとどんな論理式になるのか興味があります の答えになっているとは思えません。 もう少しわかりやすく説明してもらえると助かります。 私の「実際に作るとどんな論理式になるのか興味があります」の意味は、 論理式Pを実際に作ったときの記号列に興味がある。ただしPを解釈すると「mがTのある論理式のゲーデル数である」という意味となるものとする。 ということです。 >自然数mが与えられたとき、 mがゲーデル数であるか否かは素因数分解により簡単に(アルゴリズムとして簡単に)チェックできます。 mがゲーデル数ならそれに対応する記号列が決まります(その記号列は先の素因数分解によりそのまま記号列に置き換えられます)。 記号列をチェックする事によりその記号列が論理式であるか否かが決定されます。 この作業が(コンピュータにも行えるという意味)でルーチンであるから、上の論理式Pが作れると思ったわけです。 つまり、∃p_1∃p_2…∃p_n 各p_iは素数で m=2^(p_1)*3^(p_2)… さらにp_1,p_2,…,p_nはある規則にしたがっている。 みたいな論理式(ただし「素数」とか「ある規則」とか言う言葉は「素数を意味する論理式」「その規則を意味する論理式」を使うことで、"きちんと"書けば記号列で表記できる。その意味でここでは論理式と言っている)でPが表わされると思います。

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    [n/2]の意味がわかないので質問します。 (3,1)=3C1を表すことにして、(n,k)=nCkとします。 (x+1/x)^n=Σ(k=0→n)(n,k)*x^(n-k)*1/{x^(n-k)}= Σ(k=0→[n/2])(n,k)*[(x^(n-2k)+1/{x^(n-2k)})] [n/2]はガウス記号だとしてn=3として計算すると、[3,2]=1から、上記の右辺が、 (3,0)(x^3+1/{x^3})+(3,1)(x+1/x)となり2項定理の計算結果と合いません。どなたか2項定理の計算結果にあうような、[n/2]の解釈をおしえてください。 この変形は正17角形を作図するとき、16次方程式をx^8で割って、(x^8+1/{x^8})を含む8次方程式に直すとき利用されていました。 どなたか、[n/2]の正しい解釈をおしえてください。お願いします。

  • スコーレムの定理の意味 論理式の表現の可能性

     以前、言葉尻の異なる同じような内容の質問をしております。ご容赦ください。    スコーレムの定理によりべき集合公理をもつ公理系にも可算モデルが存在する  無限体k上のベクトル空間の次元という概念は論理式では表現できない  ペアノ算術において自然数の非標準モデルが存在する  といったものから  モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできないということが結論されているのを見るのですが、自分としてはそのような形式体系で書くことができない性質があるということ、その性質について考えるとことが、なぜ記号を対象とした数学という分野でできるのかということが不思議なのです。  つまり(あくまで建前上ではですが)、イメージや心象を閉め出して形式的な文字列の変形、生成で議論できるはずの数学においては形式体系、公理系のモデルも結局何らかの形式的な文字列の変形、生成で定義される以外無いはずであって(モデルを決めるというのは形式体系側の記号や述語に、新しい記号や述語を対応させた新しい形式体系を実装として定めるということだと考えています) 例えば 実数の公理系の非可算のモデルの更なる可算モデルを考えると、そもそも非可算モデルとはなんだったのだろうか(何をもって非可算といっていたのだろうか もちろん元の体系内で、ある集合が可算無限の集合と1:1対応のつけられないということが証明できるということをもってなのでしょうが、しかしそれも体系の外に出てみると可算モデルになっていることがあるということならどこまで行っても本当に非可算かどうかを確かめることはできないのではないだろうか つまり何をもって非可算となすという基準が作れないように見え、それならば非可算というもの自体がどういうものかわからないのではないか なら最初の非可算モデルとはいったい何だったんだろうといったように) ベクトルの次元という概念も表現できる視点があって初めて、ある論理上では表現できないということが分かるのであってその表現できる視点というのも論理式の集合で書かれるしかないのではないか ならば次元という概念も論理式の集合で表現できることになるのでは 標準的な(N,0,1,+,・,<)のNも数学で考えるために論理式で定義されるものなら標準モデルだけを表す公理系があるのではないだろうか もしないならどうやって数学の議論の台に乗せるのだろうか などといった、おそらく擬似問題に悩んでしまうのです。  認識といってしまうといきなり怪しい話になってしまい恐縮ですが、「モデル側の性質をすべて形式体系で書くことはできない」ということは一見して数学の論理は、人間の心象、意味内容を全て認識することができないと受け取ってしまいそうになりますが、形式とモデルの関係はそのようなことをいっているのではなく、数学上の話である以上、体系間の関係のことをいっていると思うのですが正確にはどういうことを表しているのかわからないのです。 おおざっぱにいうと論理式で表せない性質があるということをいうためにはその性質を表すことが必要であり、数学においてはそれも論理式で書くことになると思うので、結局どういうことをしているのか混乱しているのです。  それとも最初に書いたようなことは人間側の推論と論理式での推論の関係(これは本当にイメージ心象と論理式の関係であって、想像上の集合、モデルと形式体系は1:1には対応しない)を、体系同士の関係で表した、まねさせたことから出てきた成果なので たとえば非可算かどうかを確認する絶対的基準なものがどこにあるかなどと言うことは意味をなさないのでしょうか。つまり実装(モデル)側で、ある論理式(可算性、非可算性に相当する)を証明できるものを可算モデル、非可算モデルという名前を付けているだけであって人間の使う非可算という意味とは(建前上は)関係がないということでしょうか。  もちろん例えば、自然数といわれればその意味するところはわかりますし、その自然数と同型でないモデルというのも色々なところで図などをつかって解説されている限り同型でないということや、どういうものかということは分かります、ただそれは明らかにイメージに頼ったものであって、厳密な意味での数学ではどうするのだろう(というか論旨式で表せないものを表すとは何だろう)と考え質問いたしました。 メタレベルと対象レベルを区別できてないが故の疑問だと感じているのですが、モデル(実装)にたいしても、その実装は?さらにその実装は?といっていくと結局非可算かどうかを区別できる視点などないのではないかということにならないのでしょうか? かなり初歩的な勘違いをしていると思いますが、この方面に明るい方、過去このような疑問を持たれた方、お時間ありましたら解答、解説お願いします