証明問題における変数の定義域について

質問

「x+y>0かつxy>0のとき、y>0であることを示せ。」
この問題なのですが、xとyの定義域が示されていません。
高校数学では、特に定義域が示されていないときは複素数の範囲で考えると教わったので、以下のように答えました。
「この命題の対偶、すなわち『y<=0またはyは虚数 ならば (x+y<=0またはx+yは虚数)または(xy<=0またはxyは虚数)を示す。』
　x=1+i, y=1-iのときx+y=2, xy=2であり、対偶は偽であるから、元の命題も偽である。」
と答えたのですが、なんだか腑に落ちません。
複素数の範囲で「y>0」の否定は「y<=0またはyは虚数」ですよね？
回答よろしくお願いします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

出題された式が定義された範囲で
答えないと駄目です。

y > 0 はyが実数の場合のみ定義されています。
それ以外の値は この問題の範疇ではありません。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

定義域は示すべきですが、問題に示された式が定義されている
範囲の定義域で考えるべきです。

例えば y=1/x という式が示されたら、x=0 は除いて考えます。

y 〉0 は yが実数以外では未定義なので
yは実数として解くべきでしょう。

いずれかの式が未定義になれば、それは問題の範囲外
ということです。

回答No.2

noname2727

まず第一に複素数に大小はありません。

複素数に大小があると仮定すると

i > 0もしくはi < 0です

i > 0のとき、iを両辺に掛けて-1　＞　0　ということになって矛盾

i<0のときも同様

以上から複素数に大小は存在しません

よって、x+y>0かつxy>0と表されている時点で、ｘ，yは実数です。

「複素数の範囲で「y>0」の否定は「y<=0またはyは虚数」ですよね？」

こんなおかしい記述はなんの意味も持ちません。

回答No.1

metabolian

「x=1+i, y=1-iのときx+y=2, xy=2であり、対偶は偽であるから、元の命題も偽である。」
の部分について、

☆ たとえば、x=1+2i, y=3-4iのとき
x+y=4-2i, xy=11-2iになると思いますが、
x+y>0、xy>0 ってどうなのでしょうか？
（⇒そもそも複素数に"大小関係"なんかあるのか？ということ）

上記の点が解決できれば、
「元の命題が偽」
（⇒「x,y∈C（複素数体）に拡張した場合、"x+y>0かつxy>0のとき、y>0"とは言えない」）
という命題は成り立つといっていいと思いますが。