- ベストアンサー
数I 命題と論証における「または」について
数Iの命題と論証で、逆 裏 対偶を使うあたりで 「かつ」や「または」という言葉が出てくるのですが、「または」の詳しい定義がよく分かりません。 例をあげて説明すると x=2 かつ y=3 ならば xy=6の裏が xy≠6 ならば x≠2 または y≠3 となります。 「または」ということは両方は該当しないでどちらかが該当するという事ですか??文章が複雑で理解に苦しみます。[xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??] よく分からないのですが これを例に 説明していただけませんか??よろしくお願いします。
- giorno2001
- お礼率21% (87/410)
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数0
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
No.3です. すみません,とんでもないことを書いてしまいました.最後から2行目は, xy=6ならば,(x≠2ならばy=3) ではなく, xy=6ならば,(x=2ならばy≠3) です. どうもすみませんでした.
その他の回答 (5)
- atom40
- ベストアンサー率23% (16/68)
たしかにこの対偶の文章は、わかりにくいものになってしまいますね。 こう考えてみたらどうでしょう? (x、y)=(2,3)ならばxy=6 対偶 xy≠6ならば(x、y)≠(2,3) つまり「x=2かつy=3」ではないから、「どっちかは違っているはず」で、「x≠2またはy≠3」となります。 たとえば(1,3)(2,2)(1,2)などどの組でも対偶が成り立ちます。 こういう部分を感覚的に理解できると、論理も難しくないことがわかります。
- pyon1956
- ベストアンサー率35% (484/1350)
「または」は2、3の方のおっしゃるように片方が該当する場合と両方が該当する場合のどちらのケースも含みます。このあたり日本語の語感とは異なります。 これを論理和といいます。A OR Bという表現をします。 一方、「片方だけが該当する」場合を排他的論理和といい、A XOR Bという表現をします。(エグゾアと読んでます) もっともXORは高校数学には出てきませんが。 他に高校では和集合を習いますけど差集合も習いませんし、まああまりややこしい話はよそうよ、ってな考えなんでしょうかね。集合や論理を本格的に考えようとすると十分に難しくて到底高校数学にならないので、まあ入門編だけやっておこうという、その中にこれらがはいってないだけなんですが。
x=2 かつ y=3 ⇒ xy=6 (命題は真) の裏は, x≠2 または y≠3 ⇒ xy≠6 (命題は偽) ですね.対偶が, xy≠6 ⇒ x≠2 または y≠3 (命題は真) となりますね. 「AまたはB」とは,AかBの少なくとも一つが成り立つことであります.つまり,例では「x≠2かy≠3の少なくとも一つが成り立つ」ということになります.(この場合,両方成り立つ場合も良いことになります) また,「AまたはB」(A∨B)は以下の様に言い換えられます. 1.(Aでない かつ Bでない)でない ¬(¬A∧¬B) 2.AでないならB ¬A→B これを例にあてはめると, xy=6ならば,(x=2 かつ y=3)ではない xy=6ならば,(x≠2ならばy=3) となります.
- パんだ パンだ(@Josquin)
- ベストアンサー率30% (771/2492)
書いておられる例は「裏」ではなく「対偶」ですね。 [xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??]であってますよ。 「または」というのは「どちらか片方が該当する場合」と「両方は該当する場合」の両方を含みます。数学Aの集合で「∪」にあたるのが「または」で、「∩」にあたるのが「かつ」です。
- sunasearch
- ベストアンサー率35% (632/1788)
AならばBという命題に対して、 BならばAが逆、 AでないならばBでないが裏、 BでないならばAでないが対偶(逆の裏、もしくは裏の逆) になります。 ですから、 「xy≠6 ならば x≠2 または y≠3」は 「x=2 かつ y=3 ならば xy=6」の裏ではなく、対偶です。 >「または」ということは両方は該当しないでどちらかが該当するという事ですか??[xyが6でないならxは2ではない またはyは3では無い??] その通りです。 「xy≠6 ならば x≠2 または y≠3」は言い換えれば、 xy≠6 ならば、 x≠2とy≠3のいずれかが成り立つ、ということです。
関連するQ&A
- この命題の真偽は何ですか?
次の命題の真偽は何ですか? 「x,yは実数とする.x>0ならば,あるyについてxy>0である.」 確かにy>0のyに対してこれは成り立っていると思います. しかし,この命題の対偶である 「x,yは実数とする.すべてのyについてxy≦0ならば,x≦0である.」 が偽であるような気がします. 反例:x=1,y=-1 ではやはり,最初の命題は偽なのですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 命題の否定と逆・裏・対偶
教えてください。 1 「ある x について y である」の否定はどうなりますか??? 2 また、「命題の否定」と「逆」、「裏」、「対偶」との関係はどのように理解すればいいのでしょうか???
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ある命題の真偽の理解につきまして
x, y を実数とするとき、命題「xy != 6 ならば x != 2 または y != 3 である」は、対偶を考えれば、真であることは即座に理解できるのですが、対偶を考えずに表記の命題を直接、直感的(もしくは論理的)に理解したいのですが、どうも頭の中がすっきりしません(記号 != はノットイコールの意味で用いています)。 添付図のように xy = 6 の双曲線を書いて、「xy != 6 ならば」、「(x, y) = (2, 3) を満たしさえしなければよい」というのは納得できるのですが、表記の命題を見た瞬間に直感的に理解したいのです。 当たり前のことと言えば、当たり前のことなのですが、どうもモヤモヤが残っています。 ド・モルガンの法則を習ったときのように、一方は直感的に理解できるのに、他方は直感的に理解できないもどかしさを感じています。 雲を掴むような質問でたいへん恐縮ですか、表記の命題を即座に直感的に理解できる方は、どのような感覚(もしくは、その背景にある論理的思考?)で理解されているのでしょうか? なにかしらアドバイス頂けないでしょうか? よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明問題における変数の定義域について
「x+y>0かつxy>0のとき、y>0であることを示せ。」 この問題なのですが、xとyの定義域が示されていません。 高校数学では、特に定義域が示されていないときは複素数の範囲で考えると教わったので、以下のように答えました。 「この命題の対偶、すなわち『y<=0またはyは虚数 ならば (x+y<=0またはx+yは虚数)または(xy<=0またはxyは虚数)を示す。』 x=1+i, y=1-iのときx+y=2, xy=2であり、対偶は偽であるから、元の命題も偽である。」 と答えたのですが、なんだか腑に落ちません。 複素数の範囲で「y>0」の否定は「y<=0またはyは虚数」ですよね? 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数