有理数を10進数の小数で表現すると最終的に周期的

質問

「有理数を10進数の小数で表現すると最終的に周期的になることを示せ」

という問題がある本にあるのですが、答えが載ってません。

有理数は、「分子、分母が互いに素なる整数」として表せることは知ってます。
周期的になることは経験上知ってる。。。その経験を数学的に表せないかな？とおもうのですが。。。

あるいは、「周期的」を定義するとどうなるか・・・

または、背理法？対偶？

と、入り口まではきてるのですが、そこから進みません。

どなたか解法をお教えください。

回答No.5

Tacosan

それ以前に, #2 でつけている「条件」がおかしいんですよ＞#3. 3/4 だって, ふつうは「分子が分母で割り切れない有理数」に入れてもらえると思う... というか, 「分子が分母で割り切れる有理数」は「整数」と呼べるのではないかなぁ. 10進法で有限でない小数にしたいなら, 「既約分数で表したときに分母が 2 と 5 以外の素因数を持つ」という条件を設定しないと.

あと, 一応念のため元の質問に補足しておくと, 「10進数の小数」でなくても一般に N進数 (N は 2 以上の整数) で同じ命題が成り立ちます.

回答No.4

alice_44

A No.2 の論点について：
有限小数については、0 または 9 を循環節にもつ
長さ 1 の循環小数と見なすのが、通常です。
例えば、1/2 = 0.5 については、
1/2 = 0.50000… (0 が循環) または
1/2 = 0.49999… (9 が循環) と考える。
いづれにしろ、周期的には違いありません。

回答No.3

alice_44

有理数とは、整数の比で表せる数のことです。
有理数 r を r = p/q (p, q は整数) と置くとき、
必要なら p. q の正負を同時に反転して
q は自然数と決めておきます。

数列 p, 10p, 100p, …, (10^k)p, … を考えます。
各項を q で割った余りは、0, 1, 2, …, q-1 のどれか
の値しかとれません。
k が十分大きいところまで追跡してゆくと、どこかで
同じ余りが現れることになります。 (鳩ノ巣原理)
k=0 から k=q までの間には、必ず同じ余りの組があります。

(10^n)p を q で割った余りと (10^m)p を q で割った余り
が同じなら、(10^n)p - (10^m)p は q の倍数であり、
(10^n)p - (10^m)p = qx (xは整数) と書けます。　←[*1]
n > m としておきます。(逆なら、n と m を入れ替える。)

式を変形して、r = p/q = x/{(10^n)-(10^m)}
= (x/10^n)/{1-1/10(n-m)}
= (x/10^n) Σ[k=0→∞]{1/10(n-m)}^k. (等比級数)　←[*2]
最右辺は、n-m 桁の循環節を持つ循環小数を表しています。
r = x/10^n + r/10^(n-m) が成り立ちますから。　←[*3]
x/10^n は有限小数、r/10^(n-m) は r の桁をずらしたもの
ですからね。n-m 桁ずらした数字の並びがまた現れる訳です。

[*2] があると、[*3] の成立が直感的に見通しやすいのですが、
Σ が得意でなければ、[*1] から直接 [*3] を導いても
よいかと思います。

回答No.2

info22_

循環小数になる小数は有理数で表されますが、
3/4や2/5や73/100などは
「分子、分母が互いに素なる整数」ですが、割り切れて循環小数になりません。つまり周期的にはなりません。
有理数は、循環小数になる数もあるけど、割り切れて循環小数にならない数もある。
なので
命題「有理数を10進数の小数で表現すると最終的に周期的になることを示せ」は正しくないのでは？つまり、「分子が分母で割り切れない有理数の場合について」という制限を命題につけないといけないのでは！！

回答No.1

Tacosan

「余り」に着目する.

例えば 1/7 を実際に計算すると, 「余り」はどうなりますか? あるいは 1/13 や 1/17 では?