cos(有理数*π)=有理数、などについてお尋ね（長文）
先日、「cos(有理数*2π)=有理数となるのはどういったときか」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2212683
という質問に、親切なご回答を頂きました（感謝です）。
結果だけをまとめますと、
「mとnを互いに素な自然数とする。
cos{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,3
sin{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,6
tan{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2」
ここで、新たに疑問が浮かびます。
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_prob_analy.htm
の問題177で、
「a(但し、0＜a＜1/4とする。)を有理数とする時、tan(aπ)は無理数である。」
がGaussの整数環がPIDで有る事を使えば、容易に証明出来るとあります。
（僕が考えた証明、多分不備あり。）
tan(aπ)が有理数とすると、
tan(aπ)=y/x(x,yは互いに素な自然数)とかける。
Gaussの整数x+iyを考えると、原点との線分がx軸とのなす角度は、
arg(x+iy)=aπ
有理数a=p/qとして、Gaussの整数x+iyをq乗すると、
arg(x+iy)^q=aπ*q=pπ
つまり、
(x+iy)^q=実数
http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/suuronN/node57.html
に書かれていることから、両辺を因数分解すると、単数倍の違いを除いて一意的。
右辺が奇素数を因数に持つとき、上記サイトの定理４０より、
それはガウス素数か、(a+bi)(a-bi)の形になるが、左辺はそれを因数にもたないから不適。
右辺が２を因数に持つとき、上記サイトの定理４０の上のコメントより、
それは単数倍の違いを除いて2=(1+i)(1-i)なので、左辺は、x+iy=1+iなどの場合に限られる。
このとき、0＜a＜1/4では、tan(aπ)=y/x=1に矛盾。証明終わり。
この問題は、aを有理数とするとき、tan(aπ)も有理数であるのは、a=整数or奇数/4と主張しています。
これを使って、Gaussの整数の観点から、cos(aπ)が有理数である条件を求めれないでしょうか？
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、わかりました。 ありがとうございました。