背理法を用いた有理数の証明

質問

「a,b,c,dが有理数で
a+b√2=c+d√2
ならばa=c, b=dであることを証明してください」
の解き方が全く理解できません。
どなたか解説をお願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

a+b√2=c+d√2
から
a-c=(d-b)√2　……①
と変形します。
ここで，d-b≠0と仮定すると
両辺をd-bで割ることができて
(a-c)/(d-b)=√2
と変形ができます。
しかし，a,b,c,dが有理数だから
(a-c)/(d-b)は有理数です。
これは√2が無理数である事に矛盾します。
従って，d-b≠0という仮定が間違っていたことになり，
d-b=0という結論が得られました。

①とd-b=0より
a-c=0

ゆえにa=c, b=dであることが証明されました。

お礼

ありがとうございます!
全く思いつきませんでした!

回答No.2

Koga57

√2が無理数であることは証明済みだと仮定して話を進めますね。
次の記述の「」に囲まれた部分が背理法を用いるときに重要な記述です。

a+b√2=c+d√2を変形すると、(a-c)=(d-b)√2‥①である。
「b≠dであると仮定すると、」
(d-b)≠0であるので、√2=(a-c)/(d-b)が成立する。
a,b,c,dは有理数なので、(a-c)/(d-b)は有理数である。
「これは、√2が無理数であることに矛盾する。」
「よって、(d≠bが間違いなので、)d=bである。」
d=bを①に代入すると、a-c=0であるので、a=cである。
以上より、a=c,b=dである。

お礼

非常に分かりやすい解説ありがとうございます!