ベストアンサー 背理法 2009/01/18 23:29 背理法を利用して、次のことを証明せよ。 ただし、√２が無理数であることをもちいてよい。 a,bが有理数で、a+b√２＝０ ならば b＝０ みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー owata-www ベストアンサー率33% (645/1954) 2009/01/18 23:48 回答No.1 このままだと丸投げ(禁止事項)なのでヒントだけ a+b√２＝０ →b√２＝-a →√２＝-a/b ほとんど答えに近いですね 質問者 お礼 2009/01/21 19:06 ありがとうございました。 ひたすら 解き問題になれます。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 背理法って？ √６が無理数であることを用いて、 √２＋√３が無理数であることを証明せよ。 普通は（？） √２＋√３＝ａ（ａは有理数）とおいて、両辺２乗し √６＝（ａ＾２－５）／２ となり、右辺は有理数となるので矛盾！ としますが・・・・、 (1) √２＋√３を２乗して、５＋２√６！ これが無理数なので、無理数！ って証明になります？ (2) 有理数と仮定して、２乗しても有理数だ！ ところが無理数になるので矛盾！ これは？ 私は、(1)は、５＋２√６が無理数になる証明が必要 (2)は、有理数のみが２乗して有理数になるわけではない（逆が成り立たない）のでだめ？ と思うのですが、数人で話し合った結果、 背理法では逆は成り立たなくても良い！という結論になりました？ でも、いまいち納得できないので、専門家の意見をお聞かせ願えればと思います。 √３ 背理法がわかりません（＞＜） √３ が無理数であることを背理法で証明したいのですが、有理数と置いてからどうやって矛盾を導けばいいのかわかりません。 どなたか教えて下さい。 背理法について 背理法を用いて、次の命題が真であることに示す場合 命題 √3は無理数である √3が有理数であると仮定すると √3=a/b (a,bはお互いに素な整数）よってa=√3b a＾2=3b＾2 の後がよくわかりません。 お願いします 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 背理法 問題 背理法を用いて、次の命題が真であることを示す。 命題：”√３は無理数である” ここで、背理法による証明はＰ→ｑ や qであるが真であることをいうためにはまず￣q(qではない）と仮定して矛盾を示すのでこの問題では、 √3は有理数であることを仮定しますが、 ここで有理数ということなので、整数、分数と改定しますが、なぜ既約分数で表すのでしょうか？ 有理数は整数でもよいので 例えば、3やー４でもよいのでは？ そこのところを教えてください。 疑問です。 背理法の解説をお願いします 問題 a, bは有理数とする。a+b√3=0のとき、√3が無理数であることを用いて、b=0を証明せよ。 解答 b≠0と仮定する a+b√3=0から √3=-a/b.....(1) a, bは有理数であるから(1)の右辺は有理数である。 ところが(1)の左辺は無理数であるから、これは矛盾である。 したがってb=0 ここで解らないのが「b≠0と仮定する」の部分です 証明する時点ではa+b√3=0が何なのか解らない b=0を証明しろとは言ってもそれが正しいのかどうかは現時点では解らないので 「b=0と仮定する」でも良いのではないのかと疑問に思いました。 そこでb≠0をb=0に置き換えたところで結局は同じ解答になるので 何も証明になってない気がしてなりません。 b≠0の部分をどなたか説明をおねがいします。 直接証明と背理法 http://www.amazon.co.jp/review/R1JEGJU88JQWPS/ref=cm_cr_rdp_perm のコメントを見て疑問が出てきました。 まず、議論の前提を書きます。 [前提 1] 議論の範囲は、上のリンクのコメントの以下です。 文頭の 『「√2が無理数」の証明は』 から、 段落が変った『つまり』 の手前まで。 [前提 2] 『直接証明』の、言葉の定義は知りませんが、 少くとも、『背理法』かつ『直接証明』という証明は存在しないと思っています。 以降その理解で書くので、これが変であれば指摘して下さい。 では、疑問(本題)を書きます。 [疑問 1] 私には、これは背理法に見えます。 なぜなら、 [仮定] m, n を非負整数(同時に m/n を有理数となる)。 [目標] 『2n^2』と『m^2』の『2に関するベキ指数』が合わない と、なっていて [仮定] 証明したい事と逆になっている(『√2 が無理数』に対して、『√2 が有理数』を仮定) [目標] 矛盾を導く という、背理法のフォーマットに沿っていると思えるからです。 あと、m,n は 非負整数 とは書いていませんが、 「2に関するベキ指数」を実数や分数について考えるのは変な感じがしたからです。 非負 にしたのは、「(0も含め)」とあったからです。 [疑問 2] これは前から思っていた事なのですが、 そもそも「ある数が無理数である事」を直接証明できるのでしょうか? (直接証明の意味が分かっていないのに、この言葉を使うのは変なのですが) 有理数は m/n の様な数式としての表現を持っていますが、 無理数は「有理数ではない実数」なので、この様な表現は無いと思っています。 (√x とか特殊な無理数を数式として表現する事を不可能と言っているのではないです) だから、少くとも数式を使ってこれを考えるには、「有理数(m/n)ではない」とするしか無い気がします。 (背理法でなければならないかについては、よく分かりません) と、書きましたが、私は実数に関して知識がほとんどないので、その点がこの考えの弱い部分だと思っています。 (実数も、一般的な数式の表現を持っていないと思っていますが) よろしくお願いします 数Iの背理法の問題です √６が無理数であることを用いて、次の数が無理数であることを証明せよ。 √６＋√３ 模範解答 √６＋√３＝ｂとおき、ｂが有理数であると仮定すると （√３）＾２＝（ｂ－√６）＾２＝ｂ＾２－２ｂ√６＋６ ｂ＞０より（ｂ＾２＋３）／２ｂ＝√６ ｂは有理数であるから（ｂ＾２＋３）／２ｂも有理数せある。 これは√６が無理数であることに矛盾する。 よって√６＋√３は有理数ではない。 すなわち無理数である。 質問 ｂ＞０はなくても計算していくと答えがでるように思うのですが、この限定はなぜいるのでしょうか？ 背理法 √２が有理数であることの証明ー √２が有理数であると仮定 √２＝a/ｂ (a、bは互いに素な自然数) ・・・・・ ここでです なんで たがいに 素な自然数でないといけないんでしょうか どうかおねがいします 対偶と背理法 こんにちは。 実数xが無理数であるとき，2xは無理数であることを証明せよ。 対偶は 2xが有理数ならばxは有理数である。 2xが有理数なので、2x=p/q (pとqは互いに素)とおける。 両辺2で割って、x=p/2q である。ここで、右辺のp/2qは有理数 であるから、左辺xも有理数。 対偶が真なので元の命題も真である。 これを背理法で解くとき， 2xを有理数とすると，2x=r （rは有理数）とおくと，x=ｒ/2 rは有理数なので，r/2も有理数である。このことはxが無理数で あることと矛盾する。 したがって，2xは無理数である。 何がどう違うのでしょうか。 数学論理と集合 a,bが有理数のとき、a+b√2=0ならばa=b=0であることを証明せよ。ただし、√2は無理数である。 b≠0と仮定すると、a+b√2=0から、√2=-a/b・・・・・(1) a,bは有理数であるから、(1)の右辺は有理数である。 ところが、(1)の左辺は無理数であるから、これは矛盾する。 したがって、b=0 このとき、a+b√2=0からa=0 すなわち、a,bが有理数のとき a+b√2=0ならばa=b=0である。という証明なのですが、少し証明が甘いような気がします。 背理法というのはそうでないから必然的にこれしかないよね。という証明法です。 例えば、√５が無理数であることを証明する場合は無理数でなければ、数字は無理数か有理数しかないのだから有理数です。 しかし、今回はa=b=0でないとは≠０かつb=0またはa=0かつb≠０またはa≠０かつb≠０という３通りが存在するので、 これらを３つ証明すべきではないのですか？？ 背理法 背理法を使う問題を解いていたのですが、一つだけわからないものがあるので、教えてください。ヒントをいただきたいです。 「平行でない異なる2直線は1点で交わる」 「直線外の1点を通って、この直線に平行な直線は1本だけである。」 これらのことを使って、次にことを証明しなさい。 「異なる3直線a,b,cについて a//b かつ b//c ならば a//c という問題です。 背理法を使うということなので、「a//b かつ b//c のとき a//c にならない」を証明すればいいのでしょうか？またその時、どのように証明すればいいのでしょう。 背理法の用い方 背理法の用い方について質問があります。 たとえば、教科書に載っている問題で考えると、a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗ならば、a,b,c,の少なくとも１つは偶数であることを背理法で証明せよ。とあります。 しかし、これの解答をみると、 a,b,cすべてを奇数と仮定すると、a二乗,b二乗,c二乗はすべて奇数になるので、左辺と右辺で矛盾するとあります。 ですが、これって仮定した結論を先にもちいてませんか？ たとえば、普通の証明なら、AならばBとあったら、Aにある事柄だけをもちいてBを証明すると思うのですが、背理法の場合は、結論をもちいて矛盾を証明してもよいのでしょうか？ わかりにくい文章ですみませんが、ご返答お願いします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 質問です。 質問です。 下の問題が分かりません。教えてください。 「a,bが有理数で、a+b√2ならば,a=0,b=0である」 (1) このことを背理法を用いて証明せよ。 (2) このことを用いて、次の四季を成り立たせる有理数x、yを求めよ。 お願いします。 高校数学１の背理法に関する質問 ２種類の背理法の問題について質問です。 （問題１） √６が無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。 模範解答では こちらは√６＝有理数となり矛盾という流れになっていました。 （問題２） √２、√３がともに無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。 模範解答では こちらは一旦√３＝・・・の形にしてから √２＝有理数となり矛盾という、問題１とは若干違う流れになっていました。 ここで質問は （問題２）で「√２、√３がともに無理数である」ことから「√６が無理数である」と言うことを はじめに言っていいのか悪いのかと言うことです。 言って良いなら、（問題２）は（問題１）と同一の問題として考えられると思います。 教えてください。 背理法は必要十分ですか たとえば √２が無理数であることを証明するときの定石として √２が有理数でないことを証明しますが 議論を複素数まで拡張し √２が純虚数であるとしたら √２は有理数でないが無理数でもないじゃないですか つまり √２が有理数でない←√２が無理数である は成り立ちますが √２が有理数でない→√２が無理数である は成り立たないのではないでしょうか（反例√２が純虚数） お願いします 高校数I 背理法教えて下さい。 √3が無理数であることを証明する問題を教えていただきたいのですが、 特に、 √3が無理数でない、（つまり有理数）と仮定した後、1以外に公約数を持たない自然数 a・bを用いて√3＝a/bと表す。 と続くのですが、というところで何故a・bが素数でなければいけないのか分かりません。 どなたか教えて下さい。 無理数であることの証明（背理法）について √2は無理数であることを証明する問題についてなのですが 背理法を用いて、√2は無理数でないとすると有理数だから √2＝p/q （p、qは互いに素な正の整数）とおける・・・ （中略） pもqも偶数であるから、互いに素であることに反する。 よって√2は有理数ではなく無理数である と解説には記載されています。 ここでわからないのですが、なぜpとqは互いに素な正の整数でないといけないのでしょうか？？ たとえばp＝8、q＝6だとしても、結局のところ4/3となるので有理数ということでOKな気がするのですが。。 数学が苦手なので、アホな質問だとは思うのですが、わかる方がおられましたら教えてください。 よろしくお願いします。 数A背理法のもんだいについて 【問題】 √６が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。 という問題の解答について質問です 【解答】 √６＝b/a（a、bは整数）と表せると仮定すると、√６a＝ｂより、両辺を２乗して、 ６aa=bb・・・(1) ★aa,bbにふくまれる素数２の累乗の指数は、いずれも偶数であるから 6aa=2・3・aaに含まれる２の累乗の指数は奇数、bbに含まれる２の累乗の指数は偶数であり、素因数分解の一意性より6aa≠bbとなり、(1)に矛盾★ ゆえに、√６は無理数である ★ではさんだ部分がよくわかりません… あと、別解として √６が有理数だとすれば、√６＝q/p(p,qは互いに素な自然数（整数？））と表せる。 これより、６ｐｐ＝ｑｑ ☆左辺が２で割り切れるので右辺も２で割り切れなければならず、ｑは２で割り切れる。 よって、右辺が４で割り切れるので左辺も４で割り切れなければならず、ｑも４で割り切れる。☆ これは、ｐ、ｑが互いに素であることに矛盾する。 ゆえに、（背理法により、）√６は無理数である も可能でしょうか？ でも☆の部分で、「左辺に６ってあるから２じゃなくて３で割り切れるので～」という風にもなる…？とか考え出したらよくわからなくなっちゃって… ★の部分と☆の部分についてお願いします（> <) 背理法についての質問です p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。 という問題です。 √2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか？ √2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく. （ここに，m，nは整数で互いに素） 両辺を２乗すると 2＝(n/m)^2 2m^2＝n^2 よって，nは2の倍数・・・(1) n＝2kとおく 2m^2＝4k^2 m^2＝2k^2 よって，mは2の倍数・・・(2) (1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し，矛盾． ゆえに，√2は無理数 背理法 ルート２が無理数であることを証明するのですが・・・ 教科書には ルート２が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから １以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？ ルート２をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。 a=ルート２ｂより、aの２乗＝２ｂの２乗となる。ー(1) よってaの２乗は偶数。ならばaも偶数になるのでｃを自然数として a=２ｃと書ける。 →こうしなければならない意味ってなんですか？ よって２ｂの２乗＝４ｃの２乗ー(2) (1)、(2)より、ｂの２乗＝２ｃの２乗 →こうなる理由を教えてください。 ｂの２乗は偶数。よってｂも偶数。 ゆえにaとｂは公約数２をもつことになるが、これはaとｂが１以外に公約数をもたないとしたことに矛 盾する。したがってルート２は無理数。 →分からないです。 全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。長文失礼しました。 注目のQ&A 私はとてつもなく運が悪いです。 外付けHDD「このフォルダーは空です」 中3 夢に向かって努力をしたい 自分を変えたい 出会い系で知り合った人妻について 一方的に親友に縁を切られました LIFEBOOK A577/P A746 飲み薬 タイヤ比較検討 パソコンのスペック 突然、知らない親族の未払金支払い通知が届きました カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム マッチングアプリは顔写真が重要！容姿に自信がなくても出会いを見つけるには 美容男子ミドル世代の悩み解決？休日ファッション・爪・目元ケア プラモデル塗装のコツとは？初心者向けガイド 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 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お礼
ありがとうございました。 ひたすら 解き問題になれます。