数学論理と集合

質問

a,bが有理数のとき、a+b√2=0ならばa=b=0であることを証明せよ。ただし、√2は無理数である。

b≠0と仮定すると、a+b√2=0から、√2=-a/b・・・・・(1)
a,bは有理数であるから、(1)の右辺は有理数である。
ところが、(1)の左辺は無理数であるから、これは矛盾する。
したがって、b=0
このとき、a+b√2=0からa=0
すなわち、a,bが有理数のとき
a+b√2=0ならばa=b=0である。という証明なのですが、少し証明が甘いような気がします。
背理法というのはそうでないから必然的にこれしかないよね。という証明法です。
例えば、√５が無理数であることを証明する場合は無理数でなければ、数字は無理数か有理数しかないのだから有理数です。
しかし、今回はa=b=0でないとは≠０かつb=0またはa=0かつb≠０またはa≠０かつb≠０という３通りが存在するので、
これらを３つ証明すべきではないのですか？？

回答No.3

adhd-

一発で「a=b=0であること」を証明しようと思えばそういう考えになりますが、場合わけが多くなり、解き方としては難しい道を選んでいるとしか思えません。
どうしてもその方法で解きたいなら、この解答を読むのは不要です。

「a=b=0であること」を証明するためには、一発で証明しようとせず、
（１）「b=0であること」を証明する。
（２）「a=0であること」を証明する。
の２段階を、順番に、別々に考えてください。

ここではまず（１）を証明するために、背理法を使います。
おっしゃるとおり（１）の「すべてを」否定し、「b≠0と仮定」して矛盾となり、その結果（１）が証明されます。
ここで背理法は終了です。

次に（２）です。（１）が証明できたのだから簡単でしょう。

回答No.2

koko_u_u

>今回はa=b=0でないとは≠０かつb=0またはa=0かつb≠０または
>a≠０かつb≠０という３通りが存在するので、
>これらを３つ証明すべきではないのですか？？

では、その方針で証明を補足にどうぞ。

回答No.1

gohtraw

背理法の初めに仮定しているのはｂがゼロでないということだけです。従って背理法の結論として導くことができるのはｂ＝０ということまでです。
　それ以降（ご質問中では「このとき、a+b√2=0からa=0」）は背理法による証明ではなく、ａ＋ｂ√２＝０にｂ＝０を代入してみちびかれることです。

補足

背理法は結論を否定する必要がある。
と書かれていたんですが、全てを否定しなくてもいいんですか？？