素数と有理数

質問

相違なる素数p,qと、有理数a,b,c,dが

　　　a+b√p +c√q +d√pq = 0

をみたせば、a=b=c=d=0であることを示せ。

回答No.2

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

ｃ，ｄ≠０とする。
a+b√p +c√q +d√pq = 0
a+b√p　　　　　　　　= －√ｑ（ｃ+d√p）
√q＝－（a+b√p）／（ｃ+d√p）
　　＝－（a+b√p）（ｃ－d√p）／（ｃ^2－ｄ^2p）
　　＝－｛ａｃ－ｂｐｄ＋√ｐ（ｂｃ－ａｄ）｝／（ｃ^2－ｄ^2p）

（ａｃ－ｂｐｄ）／（ｃ^2－ｄ^2p）は有理数であり、当然０でなければおかしい。ｐとｑは互いに素ゆえ、（ｂｃ－ａｄ）／（ｃ^2－ｄ^2p）も０でなければおかしい。

よって、ａｃ－ｂｐｄ＝０，ｂｃ－ａｄ＝０，
ｃ，ｄ≠０より、
ａ＝ｂｐｄ／ｃ　　，ａ＝ｂｃ／ｄよって、
ｂｐｄ／ｃ　＝　ｂｃ／ｄ
ｐｄ／ｃ＝ｃ／ｄ
ｐ＝（ｃ／ｄ）^2

ｐは素数のはずなのに、同じ有理数の積で表せるのはおかしい。つまり、仮定がまちがっていたのだ。
∴c=d=０

a+b√p ＝０→ａ＝ｂ＝０　　はいいね。教科書に載ってるよ。基本だよ。

∴ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝０
以上！

お礼

おお！ありがとうございます。
すごく良くわかりました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

nyonta

あえて、計算で解いてみます。
（注意）「x^2」　は　「xの２乗」　の意

a+b√p +c√q +d√pq = 0

b√p +c√q = -(a +d√pq)

(b√p +c√q)(a -d√pq) = -(a +d√pq)(a -d√pq)

ab√p +ac√q -bdp√q -cdq√p = -a^2 + (d^2)pq

(ab-cdq)√p +(ac-bdp)√q = -a^2 + (d^2)pq

p、qは相異なる素数であり、右辺は有理数であるから
(ab-cdq) = 0 ・・・(1)
且つ、
(ac-bdp) = 0　・・・(2)
である。すると、右辺より、
a^2 = (d^2)pq ・・・(3)
である事が分かる。
(1)、(2)より
(b^2)p = (c^2)q
よって、
b = c = 0

さらに(3)より、
d = a = 0　でないならば、
d^2　は　pq　の奇数乗で無ければならない。
しかし、dは有理数なので、そのような d は存在しない。
よって、
a = d = 0

すなわち、a=b=c=d=0　でなければ(必要条件)
a+b√p +c√q +d√pq = 0 は成り立たない。
そして、確かに　a=b=c=d=0 であれば、この式は成り立つ。(必要十分条件)

∴a+b√p +c√q +d√pq = 0
をみたせば、a=b=c=d=0である。

分かりにくくてごめんなさい。

お礼

とてもよくわかりました！
本当にありがとうございました。