教えてください。証明の問題！

質問

どうしても解けません教えてください。
【問題】
ａが正・負・θのどんな実数であっても、a^2≧θが
成り立つ。

x^2＋xy+y^2≧θ であることを証明しなさい。

以上の問題です。どうかご教授ください。^2=自乗です。

回答No.3

arukamun · ベストアンサー

なるほどθは０なんですね。
であれば、

x≧0、y≧0の時、

x^2 + xy + y^2 ≧ 0
x^2 - 2xy + y^2 + 3xy ≧ 0
(x-y)^2 + 3xy ≧ 0
x-y = aと置くと、
a^2 ≧ 0より
(x-y)^2 ≧ 0
また、x≧0、y≧0としているので、
3xy ≧ 0

次に、
x≧0、y＜0
または
x＜0、y≧0
の時

x^2 + xy + y^2 ≧ 0
x^2 + 2xy + y^2 - xy ≧ 0
(x+y)^2 - xy ≧ 0
x+y = aと置くと、
(x+y)^2 ≧ 0
また、xまたはyのどちらかが負なので、
- xy ≧ 0
の左辺は正。

よって、
x^2 + xy + y^2 ≧ 0
が成り立つ。

回答No.2

purpleshikibu

θってゼロのこと？
(1)x,yともに正orともに負のとき
x^2＋xy+y^2=(x-y)^2+3xy≧θ
(2)x,yのどちらかが正でもう一方が負のとき
x^2＋xy+y^2=(x+y)^2-xy≧θ
これじゃ駄目？

補足

かえって紛らわしい表現になってしまいました。θってゼロのことです。
(1)x,yともに正orともに負のとき
x^2＋xy+y^2=(x-y)^2+3xy≧θ
(2)x,yのどちらかが正でもう一方が負のとき
x^2＋xy+y^2=(x+y)^2-xy≧θ
これじゃ駄目？

他の問題で回答は・・・。このようになるのですが

x^2＋3y^2≧2xy
=x^2+3y-2xy
=x^2-2xy+2y^2+y^2
=(x-y)^2+2y^2
(x-y)^2≧0,2y^2≧0だから(x-y)^2+2y^2≧0
よってx^2+3xy^2≧2xy

このように回答したいのですが、答えがまとまらならないのです。

回答No.1

arukamun

問題文をちゃんと写してくださいな。