文字が実数で基本対称式が正数なら元の文字は正数か

質問

x∈R、y∈R、x＋y∈R^+、xy∈R^+　⇔　x∈R^+、y∈R^+

(⇐の証明)正の実数は加法と乗法で閉じている。

(⇒の証明)xy∈R^+　より、
(x、y)＝(正、正)、(負、負)
ここで、(x、y)＝(負、負)と仮定すると、x＋yは負となり矛盾
したがって、(x、y)＝(正、正)

ところで、

x∈R、y∈R、z∈R、x＋y＋ｚ∈R^+、xy＋yz＋zx∈R^+、xyz∈R^+　⇔　x∈R^+、y∈R^+、z∈R^+

は成り立つのでしょうか？
反例、または証明を教えていただきたいです。
証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。

回答No.1

ramayana

一般に n 次で成立します。
次の命題を証明すれば十分です。以下、[ ] で括って添字を表します。

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命題

実数係数の n 次多項式

　　f(X; n)=a[n]X^n + a[n-1]X^(n-1) + ・・・ + a[0]

において、

(1)　　i が奇数のとき a[n-i] < 0
(2)　　i が偶数のとき a[n-i] > 0

を満たすなら、f(X; n) は負の実数根を持たない。
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証明

帰納法による。n = 1 のとき、命題が成立することは明らか。

n = k-1 のとき命題が成立したとする。 f(X; k) が命題の仮定(1)(2)を満たしたする。すると、f(X; k) の導関数 f'(X; k) も、n = k-1 として、(1)(2) を満たす。すると、帰納法の仮定により、 f'(X; k) = 0 は、負の実数根を持たない。すなわち、 X の関数 f(X; k) は、X<0 において単調減少又は単調増加である。

k が奇数か偶数かで分けると、次のようになる。

(3)　　k が奇数のとき、 f(X; k) は、X<0 において単調増加であって、f(0; k) = a[0] < 0
(4)　　k が偶数のとき、 f(X; k) は、X<0 において単調減少であって、f(0; k) = a[0] > 0

よって、k が奇数でも偶数でも、 f(X; k) = 0 は、負の実数根を持たない。（証明終わり）

お礼

ありがとうございました。