• ベストアンサー
  • 困ってます

3次不等式が成り立つようなaの値の範囲(2変数)

aは負でない実数とする。 -1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2 を満たすすべての正の実数x,yに対し、x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。 この問題に取り組んでいるのですが、何をやるのかがわからず困っています。 2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな?と思ったのですが、使い方がよくわからずダメでした。 3次なので判別式(?)も利用できませんでした。 ヒントやアドバイスいただければ幸いです。よろしくお願いします

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数629
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな?と思ったのですが 見かけは2変数ですが、1変数に還元されます。 y/x=m (x>0、y>0よりm>0)‥‥(1)とする。 -1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2にy/x=mを代入すると、3m^2-10m+3≦0より、1/3≦m≦3‥‥(2) x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0にy/x=mを代入すると、x>0より、f(m)=2m^3-3a^2*m^2+1≧0が(2)の範囲で常に成立するための負でない実数aの値の範囲を求めると良い。 f´(m)=6m^2-6a^2*m=6m(m-a^2)で、a>0あるから、 (1)a^2≧3  (2)3≧a^2≧1/3 の各々の範囲内でf(m)の最小値≧0である条件を求める。 以下の計算は自分でやってください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 >-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2にy/x=mを代入すると、3m^2-10m+3≦0より、1/3≦m≦3‥‥(2) この部分がわからないのですが、-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2の不等式をどのように計算すればy/xが出てくるのでしょうか?初歩的なことで申し訳ありませんが回答いただければありがたいです

関連するQ&A

  • 数I方程式と不等式の問題

    【問題】 2つの二次方程式 x^2+kx+2=0・・・(1) x^2+2x+k=0・・・(2) が共通の実数解をもつように定数kの値を定めよ 【解答】 (1)&#65293;(2)より、 (k&#65293;2)x+2&#65293;k=0 (k&#65293;2)(x&#65293;1)=0 ∴k=2またはx=1 (i)k=2のとき、(1)、(2)はともにx^2+2x+2=0となるが、判別式D/4=1-2=-1<0より、実数解をもたない (ii)x=1のとき、これが(1)、(2)の解になる条件は、 3+k=0よりk=&#65293;3 以上より、求めるkの値はk=&#65293;3である ↑問題集の解答はこのようにになっています ちなみに私は (1)+(2)で2x^2+(2+k)x+2+k=0 この判別式D=(2+k)^2&#65293;8(2+k)         =(k+2)(k&#65293;6) と、(1)&#65293;(2)ではなく(1)+(2)をしてしまいました。 なぜ足すとどこがどういけないのか分からないのですが、説明できる方がいたらお願いします…

  • 導関数の応用

    3次方程式 2x~3+3x~2-12x+a=0が次の解を持つときの定数aの値の範囲を求めよ。 (1)異なる3個の実数解 (2)ただ1つの実数解 (3)異なる2個の正の解と1個の負の解 という問題で、微分した結果を判別式Dを用いるような気がするのですが、そのDと0との符号関係をどのように設定して解けばよいのでしょうか?(そもそも、この考え方が間違っていれば、根本的なところからご教授願います。)

  • 3変数の基本対称式に関する不等式って?

    2変数の基本対称式 u=x+y v=xy において、xとyが実数のとき、x,yを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)=t^2-ux+v の判別式が0以上なので、 u^2-4v≧0 が成り立ちます。なおx,yが正のとき、この不等式は相加相乗平均の関係を意味します。 では3変数のときはどうなるのでしょうか? u=x+y+z v=xy+yz+zx w=xyz において、xとyとzが実数のとき、x,y,zを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-ux^2+vx-w において、3つの実数解をもつということは、2つの極値の積が負ということですが、そのときu,v,wの間にはどのような不等式が成り立つのでしょうか?

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2の不等式をどのように計算すればy/xが出てくるのでしょうか? x>0、y>0より分母を払っても同値。 従って、-(x+y)≦2(x-y)≦(x+y)。 これを計算すると、3x-y≧0、and、x-3y≦0、 よって、x/3≦y≦3xであるから、3辺をx(x>0)で割ると、1/3≦(y/x)≦3。 私は、初めからy/x=m 即ち y=mxとして -1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2 に代入して解いただけです。 でも、上のように推論を進めると、何故初めからy/x=mと置き換えるのかが分かるかと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 おかげさまで理解できました!

  • 回答No.3
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

後半が少しもたついていますので、シンプルな解法を探してみました。 x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0にy/x=mを代入すると、x>0より、f(m)=2m^3-3a^2*m^2+1≧0‥‥(3)が(2)の範囲で常に成立するための負でない実数aの値の範囲を求めると良い。 (3)を変形すると、3a^2≦2m+1/m^2となる。 f(m)=2m+1/m^2とすると、(2)の範囲でf(m)の最小値≧3a^2となればよい。 f(m)を微分して(2)の範囲で増減表を書くと、m=1のときにf(m)の最小値が3であるから、3≧3a^2となる。 a≧0であるから、求める答えは 0≦a≦1。 但し、計算のチェックをしてみてください。 >2変数なので「1文字固定」という考え方を使うのかな?と思ったのですが この方法でも出来ます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>(1)a^2≧3  (2)3≧a^2≧1/3 の各々の範囲内でf(m)の最小値≧0である条件を求める。 抜けてますね。 (3)1/3≧a^2の場合が。。。。 但し、a>0に注意してください。 そうすると、a≧√3、√3≧a≧1/√3、1/√3≧a>0となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学I 絶対不等式の問題

    御世話になっております。絶対不等式の問題 問 「すべての実数xについて(a-2)x^2+2(a-1)x+3a-5>0 が成り立つように定数aの値の範囲を求めろ」 の問題の考え方がよく解りません。そもそも、すべての実数xとは、この二次式のxの解が実数解であることをいっているのでしょうか?つまり、解が実数解である条件を満たす定数aを求めろ という事なのでしょうか。しかし、それだと判別式b^2-4ac≧0を立ててaについて解けば良いでしょうが、どうもそのようにも見えないのです。何かもっと奥深い事がありそうなのですが、よく解りません。 考え方だけでも良いので、アドバイスいただけると助かります

  • 判別式で求める値の範囲

    x2+5mx+m=0が異なる2つの実数解をもつときの定数mの値または値の範囲を求めろってどうやって解けばいいんですか? 判別式を使って D=25m2-4mで異なる2つの実数解をもつので25m2-4m>0まではやってみたのですが、そこからがさっぱりです。 同様に重解の場合や、異なる2つの虚数解をもつ場合のときも分かりません。 ヒントだけでも教えて欲しいです!

  • 逆に・・・

     十数年来の疑問を解決したいと思い、ここで質問させて頂きます。大した話しではないのですが・・・。  少なくとも昔の受験問題では、   (1) k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0において、kが実数だとする。(x,y)の範囲を図示せよ。   (2) k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0において、kが任意の実数だとする。(x,y)の範囲を図示せよ。 といった問題が出ていたと思います。お聞きしたいのは、以下に示す解答に逆の検査が必要かどうかですが、まず私には、(1)と(2)が問題として別物に見えます。 (1)の場合  (1)は、可能な全ての実数kに対する(x,y)の満たすべき範囲と、読めます(私には)。字数を少なくしたいので、通常よりも切り詰めて書きますが、   与式においてkが実数 ⇔ 与式の判別式D≧0 なので、   D=(x+y)^2-(2xy+1)=x^2+y^2-1≧0 が解答であり、ここで、   与式の判別式D≧0 ⇒ 与式においてkが実数 を証明しようとしたら、必要十分性を分かっていないとして、減点対象になってもおかしくないと思います。 (2)の場合  (2)は、任意の実数kなので、少なくとも判別式0以上ということで、   与式においてkが任意の実数 ⇒ 与式の判別式D≧0 という事になり、十分性の証明が必要と思えます。(x,y)が、   D=(x+y)^2-(2xy+1)=x^2+y^2-1≧0 を満たしたところで、kが任意の実数をとれるかは、わからないので。私には、これくらいしか考えつけないのですが、逆を言うために(Rは実数全体)、   A={k∈R|k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0 かつ D=x^2+y^2-1≧0} とします。  k∈Rとすれば、そのkについて、   k^2+2(x+y)k+(2xy+1)=0 すなわち、   2(x+k)y=-2x-k^2-1 を満たす(x,y)は、x≠-kであれば、   y=-(2x+k^2+1)/2/(x+k) なので存在し、kは与式を満たす実数なので、k∈A。  x=-kの場合は、   0=2k-k^2-1 となるので、   k^2-2k+1=(k-1)^2=0 ⇒ x=-k=-1(y任意) ⇒ kは与式を満たす実数なので、k∈A となる。従ってR⊂Aであるが、A⊂Rは明らかなので、A=R。  この証明は、少なくとも高校レベルでは、決して易しくないと思います。  何を言いたいかというと、(1),(2)の模範解答に関して、逆の証明を行っているのを見た事がない、という事です(これは、はっきり記憶しています)。その理由なのですが、  (a) (1)と(2)が同じものだと、多くの場合誤解(?)されている.  (b) (2)で逆の証明が難しいので、省略された. と思っていたのですが、考えすぎでしょうか?

  • 解の存在条件

    x^2+y^2=1・・(1),y=x+k・・(2) 実数解(x,y)が存在するためのkの値の範囲を 求めよ。 (1)に(2)を代入して、まとめると、2x^2+2kx+k^2-1=0 これが実数解をもつから、 判別式から、-√2=<k=<√2と解答にはあります。 実数解xは(1)の条件から、-1=<x=<1に存在しなければならないから、 判別式の条件に、、-1=<x=<1に存在するという条件を付け加えなければならないと 思うのですが、どうしてなくてもいいのでしょうか。

  • 平方完成で(4次式)>0を示したい

    実数係数の2次式x^2+2px+qが恒等的に正であるという条件は、p^2-q<0ですが、次のように説明できます。 (平方完成を使う方法) x^2+2px+q=(x+p)^2-p^2+q なので、-p^2+q>0であればよい。 (グラフを使う方法) f(x)=x^2+2px+q、f'(x)=2x+2p より、極小点のx座標は-pなので、f(-p)>0であればよい。 (判別式を使う方法) 判別式とは、2次方程式としたときの解をα,βとしたときの、D=(α-β)^2。 解と係数の関係を使って、D/4=p^2-q。 α,βは、実数どうしか、互いに共役複素数。 α,βが、実数どうしのとき、D≧0。 α,βが、互いに共役複素数のとき、D<0。 (相加相乗平均を使う方法) f(x)=x^2+2px+qにおいて、f(0)=q>0が必要。 x^2+2px+q ≧ 2√(x^2*q) + 2px = 2√q|x| + 2px x≧0のとき、2x(p+√q)なので、p+√q>0つまり、-p<√qであればよい。 x<0のとき、2x(p-√q)なので、p-√q<0つまり、p<√qであればよい。 まとめて、p^2<q いま、実数係数の4次式x^4+px^3+qx^2+rx+s、もしくは横に平行移動させて3次の項を消した、x^4+qx^2+rx+s、が恒等的に正であるという条件を具体的に求めることができなくて悩んでいます。 (グラフを使う方法)は、途中で3次方程式がからんできて、複雑になります。 (判別式を使う方法)は、そのままでは役立ちそうにありません。 (相加相乗平均を使う方法)、もしくは、(平方完成を使う方法)を使って、(4次式)>0を示すにはどうしたらよいでしょうか?

  • 二次不等式の問題

    x^2+2(2m+1)x+5m^2-4=0 について2つの解がともに正となるようなmのあたいの範囲と2つの解が異符号となるようなmの値の範囲をもとめよ。 という問題があるのですが黄色チャートをひらいてもまったくのってなくてこまってます 判別式をつかうのかなとは思うのですが どうすればいいのかまったくわかりません。 どなたかよろしくおねがいいたします

  • 数学 二次方程式 定数の範囲について

    x^2+ax+3a=0 (1) x^2-ax+a^2-1=0 (2) 二つの二次方程式がともに実数解をもつように定数aの値を求めよ。 (1) 判別式D≧0を使う。 a^2-12a≧0 a≦0 、 12≦a (2) 同じく判別式D≧0を使う。 -3a^2+4≧0 a≦-(2√3)/3 、 (2√3)/3≦a 私の答え a≦0 、 (2√3)/3≦a となったのですが、答えは -(2√3)/3≦a≦0 のようです。 私はどこで間違ったのでしょうか? 調べて考えた結果、D≧0ではなく、どこかでD≦0となる部分があるように思えました。 ですが、どこでなるのかもわからないし、なぜD≦0になるのかもわかりません。 実数解を持つようにいわれてるのに、答えに負の範囲があるのも疑問です。(私の間違った答えにも0≧aがあるのですが、なぜなんでしょうか。)

  • 偏微分方程式を変数分離で解きたいんですが・・

    次の偏微分方程式を解きます。   ∂/∂x{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂x}+∂/∂y{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂y}=0 変数分離T(x,y)=X(x)・Y(y)を導入すると   {∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)+{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=0 このような式が得られました。第一項と第二項をそれぞれ次のような定数とおきます   {∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)=-{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=-k^2(負),0,k^2(正)―(1) (1)式の右辺が-k^2の場合について考えます。X(x)について次の式が成り立ちます。   ∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x+k^2・X=0 ―(2) これは定数係数微分方程式なので判別式D=a^2-4k^2によって解が異なる。 ここで質問なんですが(2)式の解X(x)をどのように表したらいいのでしょうか?場合わけを一つの式で表現する方法がよくわからないんです。

  • 解の存在する範囲

    ///問題/// xの2次方程式 x^2+2ax+4a^2+2a=0 (aは実数の定数)がある。 この方程式の実数解のとり得る値の範囲を求めよ。 ///解答/// この方程式の実数解をαとすると、代入して α^2+2aα+4a^2+2a=0 aについて整理すると 4a^2+2(α+1)a+α^2=0 求めるものは、この方程式を満たす実数解aが存在するような実数αの条件である。 よって、aの方程式と考えて判別式をDとすると D≧0 D/4=(α+1)^2-4α=-3α^2+2α+1であるから -3α^2+2α+1≧0より 3α^2-2α-1≦0 (3α+1)(α-1)≦0をといて -1/3≦α≦1 したがって、実数解の存在する範囲は-1/3≦x≦1 なんでaについて整理するんでしょうか? xについてじゃだめなんですか? あと問題文の >この方程式の実数解のとり得る~ のあたりもよくわからなくなってきました。 実数解ってグラフにしたときにx軸と放物線がくっつくところと考えてたんですけど違うんでしょうか…?

  • x>0,y>0で、x^2+xy+y^2=3のとき、2x+yの値の範囲を

    x>0,y>0で、x^2+xy+y^2=3のとき、2x+yの値の範囲を求めよ。 以下のように解けますが、別解をお願いします。 k=2x+yとおく。y=k-2xをx^2+xy+y^2=3に代入して 3x^2-3kx+k^2-3=0 この解が、0<x<k/2に存在する 条件をもとめる。y=3x^2-3kx+k^2-3とおいて 軸は、k/2 より、判別式>0、x=0のとき、y>0 この2つの条件を求めればよい。