2次不等式の問題がわかりません。

質問

数学の問題をしていて、解けない問題がありました。
問)次の不等式がすべてのxに対して成り立つように、kの値の範囲を定めよ(k・xは実数)。
2kx^ + 2kx + k + 1 > 0

ヒント)k=0のとき不等式は「1>0」となり、これは常に成り立つ。

・・・とのことなのですが、まずこのヒントの意図がわかりません。

私は与式を
x^ + x + (k+1)/2k > 0
と変形し、判別式
D = 1 - 4{(k+1)/2k} < 0
を利用し、
k > -2
という答えを導いたのですが、間違っていました。
計算が間違っているのでしょうか？それとも考え方自体が間違っているのでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

場合分けがポイントですね。
問題文をよく見ると（冒頭部分）

「次の不等式が～」と書かれています。
つまり、不等式は2次不等式とは限りません。
1次不等式も「不等式」には含まれます。

もし、冒頭部分が「次の2次不等式が～」と書かれていた場合には、
x^2の係数は 0ではないとおいて計算をすすめることになります。
「判別式」はあくまでも2次不等式の場合で用いるものです。

よって、x^2の係数で場合分け
i) k＝0のとき → 1次不等式のとき
ii) k≠0のとき → 2次不等式のとき
として考えることになります。

いまの問題では、i)のとき「たまたま」(左辺)＝1となるので、
不等式が常に成り立ち k=0が解に含まれることになります。

ii)については、
#2さんの言われているとおり、x^2の係数によって上に凸、下に凸が変わります。
判別式の条件は D/4= k^2- 2k*(k+1)= -k(k+2)＜0となります。

最後にまとめるときに、x=0を忘れないようにしてください。

お礼

回答ありがとうございます！
JosquinさんとOKOKWaveIDさんの回答を見て沸いた疑問もすっきり解決しました！冒頭文からそんなことが読み取れるんですね！！！本当に感動です！！！！！！数学ってすばらしいです！

補足

ところで「x=0を忘れないように」
とはどういうことでしょう？
回答の最後に「x=0のときも与式はkの範囲で成り立つ」ということを書いておくということでしょうか？

回答No.4

naniwacchi

#3です。

＞ところで「x=0を忘れないように」
k=0の間違いです。
よく忘れてしまうところですので。

失礼しました。

お礼

マルっとすっきりしました！ありがとうございます！

回答No.2

noname#108210

グラフにして考えて見るのが良いでしょう．
y = 2kx^2 + 2kx + k + 1　－－－（１）
のグラフを
k>0 , k=0 , k<0 の場合に分けます．
ヒントで，k=0 の場合は済んでいます．
k>0 の場合が　あなたがおこなった方法ですが，

> と変形し、判別式
> D = 1 - 4{(k+1)/2k} < 0　－－－（２）

は， k の２次不等式になりますね．正しく解きましょう．
で，残りの k<0 の場合ですが，（１）のグラフを考えると
上に凸のグラフになり，題意を満たさないことが分かりますね．

したがって，k=0 と（２）の解をまとめれば良いのです．

お礼

なるほど！k<0の場合については計算するまでもないことですね！
たった今計算してしまってました！ありがとうございますっ！！
ところでk>0の場合の判別式についてなのですが、
k{1 - (2k+2)/k} < k*0
k - 2k+2 < 0
で間違ってるでしょうか？完璧にハマってしまってすべてに自信がありません泣

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

k<0なら、両辺を2kで割ったときに不等号の向きが逆になります。

したがって、k>0、k=0、k<0の３つに場合して考えなければなりません。

お礼

Josquinさん、回答していただき本当にありがとうございます！
良回答が何個でもつけられればいいのですが＾＾；
またよろしくおねがいします！

補足

なるほど！完全にハマってました！ありがとうございます！
ところで符号の向きが変わるから場合分けが必要ということならば、
k≧0 と k＜0の2つだけで場合分けしてもいいものでしょうか？