二次不等式について。。。

質問

（例）二次不等式２X＾2－ＫX＋５≧０の解がすべての実数であるとき、定数Ｋの値の範囲を求めよ。という問題で、どうして最終的な答えが－2√10≦Ｋ≦2√10になるのかが分かりません。Ｘ軸となぜ２点で接しているのかが理解できません。その前までは、≧ということから、Ｘ軸と接しない場合と１点が接する場合を考えていたのに。。。

回答No.5

aquarius_hiro

ayakkumaさん、こんにちは。

－2√10≦Ｋ≦2√10 の導出は皆さんの説明で正しいですが、ご質問者様はもしかしたら、それは承知の上で、他のことで不思議に思われているのかもしれません。

> Ｘ軸となぜ２点で接しているのかが理解できません。

というご質問文を解釈すると、

Ｋ＝－2√10
Ｋ＝　2√10
…(1)

の二つの点で成立つことが不思議という意味でしょうか？
その意味と解釈してお答えします。
意味が違っていたらすみません。

まず、イメージしていただきたいのですが、

　Y = 2X^2 - KX + 5 … (1)

というグラフは、Kの値が変わると、グラフ全体が動きます。

具体的には、他の方も計算されているように、

　Y = 2(X - K/4)^2 + 5 - K^2/8

と平方完成できますので、頂点の座標は (X0,Y0) = (K/4, 5-K^2/8) になり、Kの値が変わると、形はそのままで、頂点の位置が動いていくことがわかります。（より具体的にはKを消去してY0=5-2X0^2という上に凸な二次曲線上を動きます。）

(1)の条件は、頂点のY座標が0（Y0=0）のところなので、どちらも(1)式の「グラフが」１点（頂点）でX軸と交わるところです。

つまり、条件が２つあるのは、けして(1)式のグラフがX軸と「２点」で交わるわけではなく、「１点」で交わるケースが「２通り」あるという意味なので、条件が変わってしまったわけでも、矛盾しているわけでもありません。

考えてみれば、もとの方程式は、X を -X と置き換えるとちょうどKを-Kで置換えたものになるので、Kの条件としては正負の領域で対称になるべきで、K＝－2√10が許されるなら、K＝2√10 も許されるべきですね。

回答No.4

noname#50187

「　　≧ということから、Ｘ軸と接しない場合と１点が接する場合を考えていたのに。。。　　」

　う～ん・・・。質問者様の考え方で、あっていると思いますが・・・

　２X＾2－ＫX＋５　を変形すると、2(x-k/4)^2-k^2/8+5　となります。
　したがって頂点は、（k/4,-k^2/8+5) となります。

　２X＾2－ＫX＋５≧０の解が全ての実数であるためには、頂点のy座標が、x軸（も含めて）より上でなければなりません。

　今、頂点のy座標は-k^2/8+5なので、この値が０以上になります。
　つまり、-k^2/8+5≧0　が成り立ちます。

　これと計算していくと、k^2≦40　となります。

　ちょっと話がそれますが、k^2=40　の式を考えてみてください。
　kの値が+2√10あるいは-2√10のとき、k^2の値は40となります。

　もし、kの値が+2√10より大きかったら、k^2の値は40より大きくなってしまいます。また、kの値が-2√10より小さくても、k^2の値は40より大きくなってしまいます。

　したがって、k^2≦40 を満たすためには、kの値は、+2√10と-2√10の間になければならないのです。

　つまり、-2√10　≦ k ≦ 2√10 となります。

　判別式をつかっても同じです。
　b^2-4ac　の値は、 (-k)^2-4*2*5　で k^2-40 となります。
　1点で接するのと、接しない場合を考えるので、
　k^2-40≦0　となります。
　つまり、k^2≦40　となります。
　したがって、-2√10　≦ k ≦ 2√10　となります。

回答No.3

kuma-tta

こんにちは。
この例題は、グラフが下に凸のグラフで且つ、(1)X軸に接するか(2)X軸よりも上にある、つまり接しないでいる というのが、
２X＾2－ＫX＋５≧０・・・☆の意味だよね？（右辺の０というのは、Yの値が０という意味だよ）
そこで、(1)と(2)を満たすためには、判別式Ｄを計算する必要があるね。今回は、『Ｄ≦０』という式になるよね？要するに、「１点のみで交わるか、全く交わらない」場合のケースの判別式Ｄを考えるんだよ。
計算すると、
Ｋ＾2ー４×２×５≦０
Ｋ＾2ー４０≦０
（Ｋ＋√４０）（Ｋ－√４０）≦０
√４０＝２√１０
よって、－２√１０≦Ｋ≦２√１０

となるよ。

理解できたかな？(^_^)

回答No.2

take_5

結果として、判別式≦0でいいんですが、グラフを書くとわかりやすいでしょう。

y＝２X＾2－ＫX＋５＝2（x-k/4）＾2＋5-k＾2/8がx軸より常に上（x軸と接する場合も含め）であるためには、5-k＾2/8≧0であれば言い訳です。
したがって、－2√10≦Ｋ≦2√10になるのは明らかでしょう。

回答No.1

tunertune

＞Ｘ軸と接しない場合と１点が接する場合を考えていたのに。。。
それでOKです。
判別式D≦0　なので
答えは－2√10≦Ｋ≦2√10になります。