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2次不等式について
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可笑しな事を言ってる回答者がいるので、注意しておく。 >それと、1 <x <4 なら a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、これは前提として置かない方が良いでしょう。何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。 それは違う。回答者気がついてないだけの事。 はじめから a>0 という条件をつければ良いだけ。 それで解いてみよう。 m>0として、不等式は、m*(x-1)(x-4)<0とおける。 これを展開すると、不等号の向きを同じにして、-mx^2+5mx-4m>0. この不等式と、ax^2 + 5x + b >0 が一致するから、各項の係数が比例する。 従って、(-m)/(a)=(5m)/(5)=(-4m)/(b)。 m>0から (a、b)=(-1、-4)。
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- kenjoko
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alice_44さん、よろしくおねがいします。 >解が 1 <x <4 なら a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは?? 不等号が逆になっていたのに気が付きませんでした。 「a(x-1)(x-4)>0とおくべきなのでは」と書けば 正しいことになりますね。 ご指摘ありがとうございます。 >解説に「解が 1 <x <4 でx^2 の係数が1である2次不等式は、(x-1)(x-4)<0 とおける」・・・ とあるのですが この解説で質問者が混乱したのでは? 質問者はわかりましたか。
- alice_44
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> 解が 1 < x < 4 なら a(x-1)(x-4) < 0 > とおくべきなのでは?? だめです。 ax^2 + 5x + b > 0 と a(x-1)(x-4) < 0 が 同値になることは有り得ません。 括弧を展開して、見比べて御覧なさい。 (-a)(x-1)(x-4) < 0 と置くのなら ok です。
- kenjoko
- ベストアンサー率20% (23/110)
可笑しな回答です。注意して下さい。 a(x-1)(x-4)=ax^2-5ax+4aと ax^2 + 5x + b のそれぞれの係数を比較して a=-1、b=-4が得られる(-5a=5,b=4a) 本当はここまででOK ※未知数をいきなり、正とか、負にするのは間違いですね。 a>0としておいて、解がー1になるなんて、あり得ませんよね。 ax^2-5ax+4a>0に a=-1、b=-4を代入して -x^2+5x-4>0・・・ x^2-5x+4<0 よって 1<x<4 間違いない >「解が 1 <x <4 でx^2 の係数が1である2次不等式は、(x-1)(x-4)<0 とおける」 とあるのですが 「x^2-5x+4<0」ここの事を言ったのかな? >a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは?? その考えは正しい。
- halcyon626
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1が一番スタンダードで扱いやすいからです。 1 <x <4 でx^2 の係数が5である2次不等式は、 5(x-1)(x-4)<0とおけます。しかし、1でもいんじゃね??ってなるのです。 5で置けるなら、10でも20でも何でも置けます。 でも別に数が大きい意味はないし、意味がないのに必要なら1で良いでしょう。 ×1なら、どうなっても計算に支障も無いし、面倒でもありませんから。 それと、1 <x <4 なら a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、 これは前提として置かない方が良いでしょう。 何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。 まず、計算に影響をきたさない、係数1の(x-1)(x-4)<0とおいて、 求める2次式の係数がaだから、aを掛けて計算。 しかし、aのプラスマイナスで大小の記号が逆になるので、 条件を指定して、場合分け。 という感じで。 参考までに、
- hsatky530
- ベストアンサー率50% (8/16)
問題文からa<0であることは明らかです。 よって、「x^2の係数が1」というのはaが1であると言っているのではなく、 「解が 1<x<4 で x^2 の係数が1である2次不等式は (x-1)(x-4)<0 とおける」 ということから、 (x-1)(x-4)<0 → x^2-5x+4<0 とし、 x^2-5x+4<0 と ax^2+5x+b>0 の係数を比較してa,bを求めようとしているのだと思います。 要するに、この解き方の場合a=1とするのが一番数式の処理が楽だということではないでしょうか。 最後の質問についてはほかの方が回答されているので割愛します。
- tomokoich
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a(x-1)(x-4)<0とおいてしまうと aが正か負かまたは0かによって不等号の向きが変わってしまいます。 そうするとa=0,a<0時は解が1<x<4にならなくなります。
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お礼
すみません。不等号の向きを逆にしてしまって・・ まさに、ご指摘のとおり 解説を読んで混乱してしまいました。 でも皆様のご親切なご回答により、理解できたと思います。 ありがとうございました!!