二次不等式です

質問

次の条件を満たす実数ｋの
値の範囲を求めよ。

1、
すべての実数ｘに対し、
不等式 kx^2－kx＋2＞0
が成り立つ。

2、
ある実数に対し、
不等式 x^2―3x＋4＜kx
が成り立つ。

教えていただけると
助かります。

回答No.2

IveQA

solominerさん！

1.の左辺はxの2次式とは限らんよ。k=0の場合も考えないと。

2.は1.と別問題なので共通部分を取らなくても。
完全平方もいいけど、こっちこそ判別式の方が計算が楽だよ。

回答No.1

solominer

すいません。　回答する前から謝罪しておきます。ごめんなさい。
見本になるような回答ではないかと思います。
なにせ、数学らしいことをやったの3年も前なので。

今回の問題に関しては、グラフでイメージすることがよいかと思います。

１すべての実数ｘに対し、
不等式 kx^2－kx＋2＞0
が成り立つ。

ということですが、x^2の係数は必ず正でなければならないというのはよろしいでしょうか。
（二次関数なので、グラフが放物線になります。ｋがゼロでなければですが。x^2の係数が正であれば、下に凸の放物線、負であれば上に凸の放物線になる、というのはよろしいかと思います。｛疑問があれば、補足に書いてくだされば、さらに解説したいと思います。｝今回、すべての実数ｘに対し、
不等式 kx^2－kx＋2＞0ということなので、グラフで考えれば、この放物線は、x軸（横軸）に接していけないということになります。）
よって、k>0が前提条件となります。

次に、x軸に放物線が交点、接点を持つ、ときたら考えて欲しい作戦なのですが、『判別式』を使います。ax^2+bx+c=0において
D=b^2-4acやD/4=(b/2)^2-acといったやつで、これが正なら
この二次方程式は、実数解を二つ持つ（グラフで考えるとx軸と2回交わる）
ゼロなら解一つ（x軸に接する）
負なら解なし（x軸に接しない）
というやつです。

今回の場合、どんなxでも
kx^2－kx＋2＞0なので、（左辺）＝０としたときの判別式が負であればよい、ということになります。（もしここで引っかかるようでしたら、補足に記入願います）

よってＤ＝（-k)^2-4*k*2=k^2-8k<0となり
k^2-8k=k(k-8)<0
数直線ででも整理して解いていただければ、0<k<8となるかと思います。
これは、前提条件をクリアしてるのでオッケーです

つづきまして、
2、
ある実数に対し、
不等式 x^2―3x＋4＜kx
が成り立つ。

ですが右辺を左辺に移項して整理してx^2-(k+3)x+4<0とします。
平方完成をして,
{x-(k+3)/2}^2-(k+3)^2/2^2+4<0となります。

ここで、グラフを考えると、軸は(k+3)/2,頂点のy座標は-(k+3)^2/2^2+4となります。
頂点が、x軸より下にあれば、２の題意を満たすので、-(k+3)^2/2^2+4<0
一項目を移項して,4<(k+3)^2/2^2 4<(k+3)^2/4
16<(k+3)^2
16-(k+3)^2<0
{4+(k+3)}{4+(k+3)}<0より
k<-7,１<kとなりさきほど求めた0<k<8との共通部分、1<k<8が答えかと思います。

ショージキ、私解いていて、これでいいのかな、なんて思いながら解いたので、参考程度に考えてもらえばうれしいです。

長々とすみませんでした