２次不等式の問題

質問

この問題の答えは分かっているのですが、その過程が分かりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか？

a＞1とするとき、２次不等式ax^2＋(4a＋1)x＋a^2＞0がすべての実数xについて成り立つようにaの値の範囲を求めよ。

ちなみに答えは、a＞2＋√6のようです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

debut

２次不等式ax^2＋(4a＋1)x＋a^2＞0がすべての実数xについて成り
立つには、a＞１なので、判別式＜０となればよい。
判別式＝(4a+1)^2-4a^3＜０
整理して　4a^3-16a-8a-1＞０
これを解く。

ところが、答えはa＞２＋√６にはならないですね。
もし、判別式の－１がなければ、
　4a^3-16a^2-8a＞０
　a^3-4a^2-2a＞０
　a(a^2-4a-2)＞０
となって、a＞２＋√６が出てはきますが・・・

回答No.2

digitalian

これは問題か解答のどちらかが誤っていますので解けません。

a ＝ 2 とすると与式は　　　　2 x ^ 2 ＋ 9 x ＋ 4 ＞ 0
ここで x ＝ -1 のとき、左辺は　　2 - 9 ＋ 4 ＝ -3　　となり、0 以下となって条件を満たしません。

よって、この問題または解答は誤っています。

回答No.1

R_Earl

ax^2＋(4a＋1)x＋a^2を平方完成し、
a(x - p)^2 + qのような形にします。

(x - p)^2は絶対に0以上ですよね
(二乗した数は絶対0以上なので)。
なので1 < aならa(x - p)^2は0以上です。

a(x - p)^2 + qの「a(x - p)^2」の部分が0以上なので、
qが0より大きくなれば
a(x - p)^2 + q全体が0より大きいことになりますよね。