2次不等式

質問

いつもお世話になります。

２次不等式ax^2+6x+9>0を満たす整数xがただ１つであるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題です。

a>0だと、あてはまる整数が無数に存在するのでまずいので、a<0で考えるのだとは思うのですが、その先のやり方がわかりません。
ちなみに、平方完成して、頂点の座標を求めたら、(-3/a,(-9/a)+9)になりました。（表記法が違っていたらすみません。）よろしくお願いします。

回答No.6

R_Earl · ベストアンサー

ANo.2, 5です。
ANo.2に対する返信や、ANo.3, 4の方の回答文に書いてある通り、
aの値に依らずにx = 0が必ず整数解になりますね。
なのでANo.5の回答のように、変に場合分けする必要はありませんね。
また、ANo.3, 4の方が仰っているように、
x = 1で整数解をもたない条件はf(1) ≦ 1ですね。
失礼しました。

解答文の書き方ですが、ANo.2に対する返信に書いてあるのと
同じような感じで書けば良いと思います。
例えばこんな感じになると思います。

f(x) = ax^2 + 6x + 9とおく。
f(0) = 9より、x = 0はaの値によらず、f(x) > 0の整数解となる。
よってx = 0のみが不等式f(x) > 0の整数解となるようなaの範囲を考えれば良い。
a > 0の時、y = f(x)のグラフは下に凸な放物線になるので、
f(x) > 0の整数解は複数存在する。
a = 0の時、f(x) > 0は二次不等式にならない。
a < 0の時、軸のx座標が正になる。
よってy = f(x)のグラフの形から、f(1) ≦ 0となれば良い。
f(1) = a + 15より、f(1) < 0の時a ≦ -15。
よって求める範囲はa ≦ -15。

お礼

おかげさまで、よく理解できました。
ありがとうございました。

回答No.5

R_Earl

> できれば、模範解答例のようなものを示していただきたいです。

場合分けしてそれぞれ答えを出し、最後にまとめればよいです。
例えば場合分けが

[1] a > 0の場合
[2] a = 0の場合
[3] -6 ≦ a < 0の場合
[4] a < -6の場合

の4通り必要だったとします
(私は解いていないので、これは適切な場合分けでは無いかもしれません。
もしかしたら5つ以上の場合分けが必要になるかもしれません)。
そしてそれぞれの場合について考えた結果

[1] a > 0の場合
題意を満たすaの値は存在しない
[2] a = 0の場合
題意を満たさない
[3] -6 ≦ a < 0の場合
aが-3より大きければ良い。
[4] a < -6の場合
aが-15より小さければ良い。

となったとします(解いていないので、この結論も適当です。特に[3])。
この場合、次のように解答文を書けばよいです。

----------------------------------------
[1] a > 0の場合
…なので、整数解が1つになるaの値は存在しない。
[2] a = 0の場合
…なので、題意を満たさない。
[3] -6 ≦ a < 0の場合
…なので、aが-3より大きければ良い。つまりa < -3。
-6 ≦ a < 0という条件のもとで考えていたので、
-3 < a < 0の時に整数解が1つになる。
[4] a < -6の場合
…なので、aが-15より小さければ良い。つまりa < -15。
このa < -15は、a < -6という条件を満たす。
よってa < -15の時に整数解が1つになる。

[1]～[4]より、整数解が1つになるaの範囲は
a < -6, -3 < a < 0
----------------------------------------

回答No.4

nag0720

失礼

a≦-15でした。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

nag0720

x=0は条件を満たすので、x=0は整数解になってます。
整数解をx=0のみにするためには、x=0以外の整数で、ax^2+6x+9　が0または負になればいいわけです。
a<0とすれば、f(x)=ax^2+6x+9 は上に凸の放物線ですから、
f(-1)≦0　かつ　f(1)≦0
であればいいことになります。

f(-1)＝a+3≦0　かつ　f(1)＝a+12≦0　から、
a≦－12
となります。

回答No.2

R_Earl

整数解の候補について場合分けしてみると良いかもしれません。

二次不等式ax^2 + bx + c > 0を解くときは、
y = ax^2 + bx + cのグラフの形を元に考えますよね。
放物線の形は軸を中心に左右対称です。

例えば今回の問題の場合、
a = -4なら放物線の軸はx = 3/4 = 0.75ですよね。
この場合、不等式の整数解になりやすいのは、
x = 0.75に近い(数直線上で近いという意味です)x = 1ですよね。
次に整数解になりやすいのは、x = 0.75に二番目に近いx = 0となります。
なので整数解をx = 1のみにしたいなら、グラフの形から
(1) f(1) > 0
(2) f(0) < 0
の2つの条件を満たせばよい事がわかります。
なのでこの条件を満たすaの値を求めればよいです。

これと同じ発想で、
[1] 最も整数解になりえそうな整数は？
[2] 二番目に整数解になりえそうな整数は？
ということを考えて、場合分けしていけば良いと思います。
例えばaが-6より小さくなると、
放物線の軸の位置はx = 0とx = 1/2の間に存在する事になります。
この場合、最も整数解になりやすいのはx = 0ですよね。
次に整数解になりやすいのはx = 1です。
なので

a < -6の場合
f(0) > 0
f(1) < 0
となるaの範囲を求めればよい。

となります。
こんな感じで場合分けしていけば良いと思います。

他にも細かい所を考える必要はあるかもしれませんが、
大体こんな方針で解ける気がします。

お礼

すみません、補足内容が間違ってました。

f(1)が0以下になれば良い。
f(1)が0以下になるのは、aが-15以下のとき。

でした。

補足

詳しい説明ありがとうございます。
いろいろ試してみて、やり方はわかりました。

aの値をどんどん小さくしていったら、軸は0に近づく。f(0)は常に正なので、f(1)が負になれば良い。
でf(1)が負になるのは、aが15より小さいとき。
と答えは出たのですが、数学の解答としては、どのように書けばよいのでしょうか。

できれば、模範解答例のようなものを示していただきたいです。

回答No.1

zux

a<0でかまいませんが

aに適当に代入して
満たす整数を表にしまくってみたら
当たりがつきますので
それができるころには解構造がわかります
というほどのことでもないでしょうが

実験→論理的な詰めが
ある意味一番要求されるスキルですよ

お礼

回答ありがとうございました。