二次不等式について

質問

-1≦x≦1の範囲で-1≦x^2+2ax+4a≦1が成り立つaの値の範囲を求めよ
という問題で、
問題より最大値≦1、最小値≧-1であることが分かるから、最大値は端点の-1か1であるので、それをx^2+2ax+4aに代入しそれが1以下であると同じ
そこからa≦0ということが導き出せました
しかし最小値の場合はとりあえず頂点の座標(-a,4a-a^2)を出して-a≦1と-a＞1と場合分けしてるのですが、なぜ頂点を求めてそれらのような場合分けになるのですか？
軸さえ分かればyの頂点はいりませんし、-1≦x^2+2ax+4a≦1ということは-a＜1と-1≦a≦1と-a＜-1ではないのですか？

回答No.1

mizutaki5654 · ベストアンサー

>-1≦x≦1の範囲で-1≦x^2+2ax+4a≦1が成り立つaの値の範囲を求めよ
>という問題で、
>問題より最大値≦1、最小値≧-1であることが分かるから、最大値は端点の-1か1であるので、それをx^2+2ax+4aに代入しそれが1以下であると同じ
>そこからa≦0ということが導き出せました
・・・最大値にの条件に限っていえば確かにa≦0ですね。
>しかし最小値の場合はとりあえず頂点の座標(-a,4a-a^2)を出して-a≦1と-a＞1と場合分けしてるのですが、なぜ頂点を求めてそれらのような場合分けになるのですか？
・・・何も一番最初に頂点を求めなくてもいいですが場合分けは必要です。
>軸さえ分かればyの頂点はいりませんし、-1≦x^2+2ax+4a≦1ということは-a＜1と-1≦a≦1と-a＜-1ではないのですか？
・・・軸が-1と1の間にある時を想像できますか？
　　　その時の最小値は頂点のy座標になりますよね？
　　　よって頂点のy座標はいると思います！

この問題はグラフを想像すれば容易にわかりますが、場合分けが3つ（正確には4つ）必要で
↓（グラフの概形を実際に書いてみてください）
軸が-1より左にあるとき、最大値はｘ=1のとき、最小値はx=-1のときです
軸が１より右にあるとき、最大値はx=-1のとき、最小値はx=1のときです
確かにこの場合には、頂点のy座標は関係ありません。
しかし、軸が-1と1の間にある時は、最大値はx=-1かx=1のときで、最小値は頂点のy座標になります。
よって-a<-1,-1≦a≦1,1<-aという場合分けが必要です。

お礼

なるほど わかりました
しかし、答えは-1≦a≦1の場合分けを行っていないんです
これは何故でしょうか

回答No.5

mister_moonlight

その方針は間違いではないが、そんな面倒な事をする必要もない。場合わけなんかいらない。

条件式から、x＾2-＋≧-2a(x+2)、x＾2-1≦-2a(x+2)と変形する。
と、すると　直線：y＝-2a(x+2)が　-1≦x≦1の範囲で　常に　放物線：y＝x＾2＋1の下にあり、又、常に　放物線：y＝x＾2-1の上にあるための　直線の傾き＝-2aの値域を定めると良い。

それだけの事。答えは簡単に出るだろう。

お礼

x＾2-＋≧-2a(x+2)、x＾2-1≦-2a(x+2)と変形する。

どうすればそうなるのですか？

回答No.4

ferien

ANo.3です。

＞しかし何度答えを見ても、-a≦1と-a＞1のみで場合分けしています
＞なぜでしょうか？
正確には、ａ≦－１，－１＜ａ≦０，０＜ａ≦１，１＜ａの４つに場合分けした方がいいです。
４つの場合で、最大値・最小値の取り方が違うからです。

－a＞1からａ＜－１ですが、このとき求めるａの値はありません。
-a≦1から－１≦ａですが、－１≦ａ≦１であれば、
最小値＝４ａ－ａ^2，最大値はｆ（１）ｆ（－１）のどちらかで
どちらにしてもａ≦０という条件が得られるので、
正解は得られます。
１＜ａのときは、最大値ｆ（１）最小値ｆ（－１）なので、
解答は場合分けが足りないと思います。

問題を正確に理解するためには、４つに場合分けした方がいいと思います。
どうでしょうか？

お礼

回答は先に最大値からaの範囲を求めたから必要最小限しか分けなかったのですね ありがとうございました

回答No.3

ferien

前回この問題に回答した者です。

しかし最小値の場合はとりあえず頂点の座標(-a,4a-a^2)を出して
＞-a≦1と-a＞1と場合分けしてるのですが、なぜ頂点を求めてそれらのような場合分けになるのですか？
のところ、-a≦－1と-a＞1　ではありませんか？
軸さえ分かればyの頂点はいりませんし、-1≦x^2+2ax+4a≦1ということは
>-a＜1と-1≦a≦1と-a＜-1ではないのですか？
のところ、-a＜－1と-1≦－a≦1と-a＞1　ではありませんか？

-1≦－a≦1のときの最小値が4a-a^2なので、ｙの頂点は求めておく必要があります。
f(x)＝x^2+2ax+4aとおくと、このとき、
ｆ（－１)とｆ（１）のどちらが最大値を取るか分からないので、ｆ（－１)＝ｆ（１）とおいて、
ａ＝０が得られ、ａ≦０とａ＞０で場合分けすれば大小を決めることができるので、さらに
－１≦－ａ＜０と０≦－ａ＜１に分けました。
－１≦－ａ＜０　→　０＜ａ≦１のとき、最大値＝ｆ（１），最小値＝4a-a^2
０≦－ａ＜１　→　－１＜ａ≦０のとき、最大値＝ｆ（－１），最小値＝4a-a^2
ということになりました。
後は前回の通り、ａの値を求められるのは－１＜ａ≦０のときだけなので、
軸の範囲と、最大値と最小値の条件から共通部分を出して、求めるａの範囲としました。

だから、軸による場合分けも、頂点の座標を求めておくことも必要です。
（前回どのように考えたかということで、参考にしてもらえればと思います。）
わかりにくいかもしれませんが、何かあったらお願いします。

お礼

なるほど わかりました
しかし何度答えを見ても、-a≦1と-a＞1のみで場合分けしています
なぜでしょうか？

回答No.2

bluesky1333

問題は、ｘがある範囲で動く時に、その関数がある範囲に入る、そのようなaを求めよ、ということです。
y=x^2+2ax+4a
というのは放物線です。で、ｘが自由に実数範囲で動くと頂点のｙ座標以上の値をとることになります。で、-１≦ｘ≦１の範囲のときは、どのような範囲に収まるかというと、放物線がｘ＝-aで最小になるので、-１≦-a≦１の時は、軸が対象範囲-１≦ｘ≦１に入るのでがその最小値が、頂点になるのです。軸が、即ちｘ=－aが-１より小さいか、あるいは１より大きいときは、ｙ=x^2+2ax+4aの最大と最小は、端点になる（放物線の軸が-１より小さいときは、最小がｘ＝-１のとき最大がｘ=１のとき、また、軸が１より大きいときは、最大は-１の時、最小は１の時になります。放物線が下に凸なので。）けれど、軸が-１と１の間のときは、軸の位置で最小になります。なので、この点のｙ座標が-１より大きいということでaを決めます。最大は-１か１の時です。
ｘの値が-１から１といってるので、ｙの値が-１から１までというのと混同しやすいのです。
大雑把に計算すると、軸が範囲に入ってる時は4a-a^2≧-1　となり、a≦0とから　2-√５≦a≦０..(1)となります。軸が外れるとき、即ちa≦-１のときと1≦aのときはそのようなaはないという結論になり、(1)が答えのはずです。たとえば、-a≦-１のとき1-2a+4a≦１、1+2a+4a≧１を満たすaはない。-a≧１の時もそのようなaはありません。(1)が解です。

お礼

-aが-1より左か-1と1の間か1より右かで分けるというのは完全にわかりました ありがとうございます！

補足

追加質問です
＞たとえば、-a≦-１のとき1-2a+4a≦１、1+2a+4a≧１を満たすaはない。

の1-2a+4aは数から見てx＝1を代入したんでしょうがなぜ1を代入したのですか？