二次不等式

質問

-1≦x≦1の範囲で-1≦x^2+2ax+4a≦1が成り立つaの値の範囲を求めよ
という問題で、
最大値が1以下かつ最小値が-1以上ですから、最大値、つまり区間の端点-1と1をx^2+2ax+4aに代入してaの範囲を求め0≧aということがわかりました
しかし、最小値の絞り方がわかりません 解説お願いします

回答No.3

ferien · ベストアンサー

x^2+2ax+4a＝（ｘ＋ａ）^2＋４ａ－ａ^2なので、
軸ｘ＝－ａの位置によって、最小値や最大値の取り方が変わると思います。
-1≦x≦1とｘ＝－ａにより場合分けが必要なのではないでしょうか？
どのような場合でも、「最大値が1以下かつ最小値が-1以上」という条件は変わらないと思いますが。

実際場合分けして見ましたが、
ａ≦－１，０＜ａ≦１，１＜ａの場合は条件を満たすａの値がありませんでした。、
条件をみたすのは、－１＜ａ≦０……（１）のときだけです。このとき、
最大値ｆ（－１）＝１＋２ａ　最小値＝４ａ－ａ^2
１＋２ａ≦１から、ａ≦０　……（２），４ａ－ａ^2≧－１から、条件……（３）
（１）～（３）の共通部分がａの値の範囲だと思いますが
どうでしょうか？
（計算してみて下さい。答えと合うでしょうか？）

お礼

４ａ－ａ^2+1≧０
a^2-4a+1≦0
a=4±2√3/2=4±√3
4-√3≦a≦4+√3

答えは2-√5≦a≦0なので違いますね…なぜでしょう…

回答No.4

ferien

ANo.3です。お礼ありがとうございます。

４ａ－ａ^2+1≧０
＞a^2-4a+1≦0
のところ、
ａ^2－４ａ－１≦０ではありませんか？もう一度確認してみて下さい。

a=4±2√3/2=4±√3
4-√3≦a≦4+√3

お礼

あ、本当ですね そのとおりです
ありがとうございました！

回答No.2

dreamfighter

＞＞下に凸ですから区間の端点が最大値です どちらの端点かは分からないですけど…

あ、ごめん。合ってたわ。軸がどこにあってもそうだね。勘違いしてました。

答えもってるんだね。できれば最終的な答えも書いてくれると、ありがたいです。（確認のために・・・）

お礼

最終的な答えは2-√5≦a≦0です

回答No.1

dreamfighter

f(x)=x^2+2ax+4aとする。

>>
最大値が1以下かつ最小値が-1以上ですから、最大値、つまり区間の端点-1と1をx^2+2ax+4aに代入してaの範囲を求め0≧aということがわかりました

なんで区間の端点でf(x)は最大値をとるの？？

（略解）＊数学的に変な書き方です。
４点A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)による正方形ABCDのなかにy=f(x)の放物線が入ればいい。

y=f(x)は軸が動くので軸で場合分け。

（１）軸が正方形ＡＢＣＤの外部にあるとき。

正方形ABCDのなかにy=f(x)の放物線が入る条件は、-1≦f(-1)≦1,-1≦f(1)≦1

(2)軸が正方形ＡＢＣＤの内部にあるとき。

正方形ABCDのなかにy=f(x)の放物線が入る条件は、-1≦f(-1)≦1,-1≦f(1)≦1,-1<f(-a)<1

グラフを書いて、なんでこの条件が必要なのか考えてみましょう。

お礼

下に凸ですから区間の端点が最大値です どちらの端点かは分からないですけど…
答えにも区間の端点が最大値だと書いてあります

最小値の絞り方ではないですが、別の見方で見て再認識した部分もありました

まだ答えが分からないですがありがとうございます