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2次不等式
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D>0は 放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が2点で交わる条件です。 または x^2-2ax+a+2=0が異なる2実根を持つ条件ともいえます。 質問の問題では 放物線y=f(x)=x^2-2ax+a+2 のグラフ(下に凸の放物線)を描いて考えるようにします。 (グラフを描いて条件を考える概念も重要ですのでマスターして下さい。) (1)の必要十分条件は以下のようになります。 グラフを描いて確認下さい。 放物線の対称軸x=a>1 判別式D/4=a^2-(a+2)>0 f(1)=3-a>0 この3条件を同時に満たす範囲を求めると答になります。 (2)の必要十分条件は以下のようになります。 グラフを描いて確認下さい。 f(1)=3-a<0 この条件があれば下に凸の放物線ですからx軸と2交点を持ち、かつx=1の両側に交点が分かれます。 条件式を解けば答になります。
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- take_5
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グラフも良いが。放物線がx軸と交わる時の条件だから、方程式の問題に還元される。 x^2-2ax+a+2=0の2つの解をα、βとする。 (1)x>1 α>1、β>1より、判別式>0、(α-1)+(β-1)>0、(α-1)*(β-1)>0が条件であるから、解と係数の関係から実際に計算して、2<a<3。 (2)1点はx<1,他の1点はx>1 α>1、β<1とすると、(α-1)*(β-1)<0が条件. 解と係数の関係から実際に計算して、a>3。
お礼
ありがとうございます。 そんな方法もあったんですね。
- nious
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y=f(x)=(x-a)^2-a^2+a+2としてからグラフから考えると、 (1)軸:x=a>1かつ最小値:f(a)<0かつf(1)>0を満たせばいいでしょう。 (2)これは単にf(1)<0だけでいいでしょう。
お礼
ありがとうございます。 理解することができました。
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