２次不等式 < と≦どっちなのか..

質問

「-8<x<-1の範囲で、xの不等式x^2-ax-6a^2>0が常に成り立つような定数aの取り得る値の範囲を求めよ」という問題で、
軸が変域より左のとき(a<-16のとき) f(-8)≧0
軸が変域内のとき (16≦a≦-2のとき)頂点のy>0
軸が変域より右のとき(-2<aのとき) f(-1)≧0

答えを見ると上のように分けているみたいなんですが
f(-8)≧0、f(-1)≧0という不等号になる理由がわかりません

自分で解いたとき f(-8)>0 , f(-1)>0 としてしまい、不正解でした
どのように考えれば≧になるのでしょうか？　よろしくお願いします＞＜

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>f(-8)≧0、f(-1)≧0という不等号になる理由がわかりません

>軸が変域より左のとき(a<-16のとき) f(-8)≧0
このとき軸の位置はx=a/2<-8です。
問題の条件は「-8<x<-1の範囲…(★)」なのでこの範囲でのf(x)の最小値は、f(-8+ε)（ε>0,ε→0+)となります。
x=-8+ε>-8なので、f(-8)≧0であれば、最小値f(-8+ε)＞f(-8)≧0となって、
最小値f(-8+ε)＞0が保証されます。
f(-8)＞0という条件だと x=-8でf(x)＞0となって(★)の範囲でf(x)＞0の条件を求めていることになりません。つまり(★)のxの範囲の下限に等号がついてしまいます。
なので「f(-8)＞0」ではなく、「f(-8)≧0」でないといけません。

同じ理由で「f(-1)≧0」の方も等号をはずせません。「f(-1)＞0」とするとx=-1でf(x)＞0となって(★)のxの範の上限に等号がついてしまいます。

問題は(★)の条件で解かないといけません。
質問者さんの言うように「f(-8)＞0、f(-1)＞0」と等号をとると、(★)の条件ではなく
-8≦x≦-1の範囲でf(x)＞0となるaの範囲を求めていることになります。
つまり、問題の題意と異なるaの範囲を求めていることになり、不正解とされたわけです。

お礼

εという記号は使った事がありませんでしたが、
便利な記号があったんですね
間違った答えが表している形まで書いていただけて、助かりました

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
f(x)は不等式の左辺のことですよね。

f(x)＞ 0となる条件だけを考えると、
質問者さんが考えたように f(-8)＞ 0や f(-1)＞ 0となってしまいそうです。

ただ、いまの問題では考えている xの範囲が -8＜ x＜ -1となっています。
つまり、x＝ -8や x= -1は範囲に含まれていません。
なので、x= -8のときに f(-8)＝ 0となっていても構わないのです。
（そこから少し正の方向に進んだときに、正になっていればいい）

境界になるところは慎重に、なるだけ具体的に考えていく方がいいですね。
＝のところ「だけ」をわざと場合分けにしてしまうというのも一手だと思います。

お礼

わかりやすい解説でした
回答ありがとうございました!