２次不等式が分かりません

質問

２次関数の問題なんですが、
次の2次不等式を満たす整数ｘをすべて求めよ　とあって
　ｘ2＋４ｘ＋２≦０
ｘ2＋４ｘ＋２＝０にして、平方完成してみたんですが、
－２－√２　＜　ｘ　＜　－２＋√２　になって、そこまであっているかも自信は無いのですが、
そこからどう整数ｘを求めればいいのか分かりません。

同じく
２ｘ2－４ｘ-３＜０　も解いてみたら
１－√５/２　＜　ｘ　＜１＋√５/２になりました。

２次不等式は覚えることがたくさんあるような気がして苦手です。
誰か回答よろしくお願いします。

回答No.1

LOHA · ベストアンサー

ルートの部分を検討してみましょう。

1 = √1 < √2 < √4 = 2
ですから
1 < √2 < 2ですね（正確には、√2＝1.41421356…）
すると
-2 < -√2 < -1　 (√2の符号を逆にした)
-4 < -2 - √2 < -3 （辺々に -2 を加えた)
よって
-2-√2 < -3 　 ( -2 - √2 = -3.41…)
同様にすれば（少し説明省きます）
-2+√2 > -1 　( -2 + √2 = -0.58…)
がわかるので
-2-√2 < -3 <= x <= -1 < -2+√2
となりますから、答えは x = -3,-2,-1 となります。
（ちなみに、整数は { …,-2,-1,0,1,2,… }、自然数は {1,2,3,…}、他にも有理数、無理数、正の数、とか数値の条件としては色々な表現があります。）

下の場合は
2 = √4 < √5 < √9 = 3
ですので上問と同じようにすればできると思います。

部分部分わかりにくいところがありますが、ご容赦を。
勉強頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございました。勉強がんばりますね！！

回答No.4

kumipapa

x^2 + 4x + 2 ≦ 0
⇔ -2-√2 ≦ x ≦ -2 + √2 ・・・ (1)
は正解で、
1^2 ＜ 2 ＜ 2^2 より 1 ＜ √2 ＜ 2 ですから
-4 ＜ -2-√2 ＜ - 3　⇒　-2-√2 は数直線上の -4 と -3 の間にある
-1 ＜ -2+√2 ＜ 0　　⇒　-2+√2 は数直線上の -1 と 0 の間にある
ということで、数直線を描いて見れば、(1) を満足する整数 x は -3, -2, -1 の３つ。慣れるまでは数直線を描いて考えましょう。

2x^2 - 4x - 3 ＜ 0
の方は
1 - √(5/2) ＜ x ＜ 1 + √5/2　・・・ (2)
を満たす整数 x を求めたいわけで、
1^2 ＜ 5/2 ＜ 2^2 より 1 ＜ √(5/2) ＜ 2 ですから
-1 ＜ 1 - √(5/2) ＜ 0　⇒ 1-√(5/2) は数直線上の -1 と 0 の間にある
2 ＜ 1 + √(5/2) ＜ 3　⇒ 1+√(5/2) は数直線上の 2 と 3 の間にある
というように数直線を描けば、(2) を満足する整数 x は 0, 1, 2 と求まります。

x^2 + 4x + 2 ≦ 0　を解くときに、平方完成して -2 - √2 ≦ x ≦ -2 + √2 を求めたとのことですが、それでしたら、最初から x が整数であることを意識して、
x^2 + 4x + 2 ≦ 0
(x + 2)^2 - 2 ≦ 0
(x + 2)^2 ≦ 2
整数 x がこれを満たすなら、|x + 2| は 0 か 1 なので、|x + 2| = 0, |x + 2| = 1 を解いて、x = -3, -2, -1
（|x + 2| が 0 か 1 ということは、数直線上で -2 からの距離が0, 1の数字ということなので、-2-1, -2+0, -2+1 で -3, -2, -1 と考えても良いでしょう）
とするのもアリだと思います。
同様に、
2x^2 - 4x - 3 ＜ 0
x^2 - 2x - 3/2 ＜ 0
(x - 1)^2 - 5/2 ＜ 0
(x - 1)^2 ＜ 5/2 = 2.5
整数 x がこれを満たすなら、|x - 1| は 0 か 1 なので、|x - 1| = 0, |x - 1| = 1 を解いて、x = 0, 1, 2

お礼

回答ありがとうございました。とても、分かりやすかったです！

回答No.3

YSNR-HRN

－２－√２のおよその値を小数で表す。√２＝1.4142≒1.4これは常識。

別の考え方
y＝ｘ2＋４ｘ＋２のグラフで考えます。
xの係数が正なのでこのグラフは下に凸、つまり上開きです。
ｘ2＋４ｘ＋２＝０
を満たすｘがグラフ上でｙ＝０の点、つまりグラフとｘ軸の交点です。
計算は自分でがんばろう。

お礼

回答ありがとうございました。計算頑張ります！

回答No.2

info22

１）ルートを小数に直して、xを小数の範囲で挟んで見てください。
どうなりますか？
－３．４...＜ｘ＜－１．８...

２）その範囲のxの整数値を全部書き出せはいいだけです。
どうなりますか？
－３，－２，－１　

後半も同じやり方です。

ご自分でできるでしょ。

お礼

回答ありがとうございました。よく分かりました！