二次不等式の問題なんですが

質問

xについての２つの２次不等式x^2-2x-8<0・・・(1),
x^2+(4-a)x-4a<0・・・(2)を同時に満たす整数xがただ１つであるとき,
aの値の範囲を求めよ。

という問題なんですが、(1)の範囲が-2<x<4ということはわかったんですが、その次からがわからないので、教えて下さい。
お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

x^2+(4-a)x-4a=(x+4)(x-a)<0
場合分けして
(A) a>-4の場合　-4<x<a
(B) -4<aの場合　a<x<-4
> (1)の範囲が-2<x<4ということはわかった
この範囲で（B)とは共通部分がないので
(A)の場合を考えればa>-2で共有部分
-2<x<a … (C)
が発生します。
したがって、簡単な不等式の左辺のグラフを描いてやれば明らかに
> (1),(2)を同時に満たす整数xがただ１つであるとき
は　
x=-1
だけを(C)の範囲に含まれるようにするには
□＜a≦△
となります。□と△に何が入るかは分かりますね。

□を小さくしすぎるとx=-1が範囲に含まれなくなります。
△を大きくしすぎると(C)を満たす整数が2個以上になってしまいますよ。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございました。
よく分かりました。

回答No.2

take_5

この手の問題の質問が後を絶たない。
数直線で考えるにしても、場合わけが発生するので考えにくいところがあるのだろう。

x^2+(4-a)x-4a<0・・・(2)についても、（x+4）*（x-a）＜0から　a＞-4、a＝-4、a＜-4の場合訳が発生するが、（1）と共通範囲を持つのは、a＞-4の時だけで、従って、-2<x<4と-4＜x＜aを同時に満たすxの整数値が1個のみである条件を求めることになる。
そんな方法は、他の人が示してくれるだろうから、私はもっと簡単な（但し、座標を習っていることが条件）方法で行こう。。。。。笑

（1）より-2＜x＜4である。
（2）において、y＝aとすると、（x+4）*（x-y）＜0であるから、x+4＞0、x-y＜0、or、x+4＜0、x-y＞0であるから、
これをxy平面上に図示するとこれらを同時に満たすのは、-2＜x＜4、and、y＞xの部分。
そこで、y＝a　（aは定数で、x軸に平行な直線）をその範囲で動かしてみると、整数xがただ１つであるためのaの範囲は、殆ど自明。

この方法は、視覚的にもたちがい難く、場合分けがいらないという長所があるが、座標を知らない1年生には無理という難点がある。

回答No.1

debut

(2)の方は(x+4)(x-a)＜0　ですよね。
(1)の解と(2)の-4を数直線上にプロットしてみれば、同時に満たすただ１つの整数解は－１とわかるはずです。
あとは、－１だけが入るようなａの位置を考えればよいということになります。
最大をみると、ａ＝０の場合はいいがそれよりは大きくてはだめだからａは０以下、最小をみると・・・・