二次不等式の問題です。

質問

「二次不等式x^2-4x-5≦0…(1)とx^2+kx+k^2+2k-5≧0を同時に満たすx値の範囲が3≦x≦5のときkを求めよ」という問題で、

(1)を解いて-1≦x≦5…(2)となる。
またx^2+kx+k^2+2k-5≧0…(3)
f(x)=x^2+kx+k^2+2k-5とおく。
二次不等式(1)と(3)を同時に満たすxの値が3≦x≦5より
「f(3)=0」

とあったのですがなぜ、f(3)=0となるのですか？
教えてください

回答No.2

info22 · ベストアンサー

図を添付しますからじっくり見てくれれば
なぜf(3)=0でなければいけないか
わかるはずです。

図と比較しながら説明を読んでください。

-1≦x≦5…(2)の範囲で
x値の範囲が3≦x≦5であるためには
図より
-1≦x＜3でf(x)＜0 …(●)
3＜x≦5 でf(x)＞0 …(■)
そしてx=3でf(x)=0 …(▲)
であることが必要十分条件ですね。

(▲)から f(3)=0 が必要条件ですね。

[検証]
f(3)=9+3k+k^2+2k-5=(k+1)(k+4)=0から
k=-1,k=-4
k=-1の時f(x)=x^2-x-6,f(-1)=-4<0,f(5)=14>0　(●),(■)を満たす。
k=-4の時f(x)=x^2-4x+3,f(-1)=35>0,f(5)=8>0 (●)を満たさない。不適。
これでk=-1ときまる。
このとき(●),(■),(▲)の必要十分条件が満たされていることが確認できます。

回答No.3

mister_moonlight

f（x）＝x^2+kx+k^2+2k-5＝0 の2つの解をα、β（α＞β）とする。
と、すると、x^2+kx+k^2+2k-5≧0　から、x≧α、x≦βになる。
そこで、数直線を書いてみると、3≦x≦5　になるためには、α＝3、β＜-1　でなければならない。
従って、グラフを書けば分かるだろうが、f（3）＝0　‥‥(1)、f（-1）＜0　‥‥(2)　であれば良い。
(1)から、(k+1)(k+4)＝0、(2)から、（-1－√17）/2＜k＜（-1＋√17）/2。
よつて、k＝-1。

回答No.1

Cytosine

不等式(1)の解が
-1≦x≦5
であることと、(1)と(3)を同時に満たすxの範囲が
3≦x≦5
であることから、
3≦x
という条件は、不等式(3)によるものということが読み取れます。
それに加えて、少なくとも3≦x≦5の範囲でf(x)≧0なのだから、
f(3) = 0
ですね。

お礼

なるほど、そういうことですか。
よく分かりました。回答ありがとうございました。