すべての実数xに対して不等式...........

質問

すべての実数xに対して不等式2^(2x+2)+(2^x)a+1-a>0が成り立つような実数aの範囲
の求め方を教えてください。
答えは-8-4√5<a<=1です。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞済みません。回答No.1の(ア)以下の場合分けを
以下の通り訂正します。
2^(2x+2)+(2^x)a+1-a＞0
2^(2x)2^2+(2^x)a+1-a＞0
4*(2^x)^2+(2^x)a+1-a＞0
2^x=yとおくとy＞0だから
y＞0の範囲で4y^2+ay+1-a＞0すなわちy^2+ay/4+(1-a)/4＞0
となるaの範囲を求めると
y^2+ay/4+(1-a)/4=(y+a/8)^2-(a^2+16a-16)/64だから
-a/8≦0のときはy=0で4y^2+ay+1-a≧0・・・・・(ア)
0＜-a/8のときは-(a^2+16a-16)/64＞0・・・・・(イ)
(ア)から-a/8≦0、すなわち0≦aのときはa≦1・・・・・(ウ)
(イ)からはa＜0のときはa^2+16a-16=0の解が
a={-16±√(16^2+4*16)}/2=-8±4√5だから
-8-4√5＜a＜0・・・・・(エ)
(ウ)(エ)の範囲を合わせて-8-4√5＜a≦1

回答No.1

yyssaa

＞2^(2x+2)+(2^x)a+1-a＞0
2^(2x)2^2+(2^x)a+1-a＞0
4*(2^x)^2+(2^x)a+1-a＞0
2^x=yとおくとy＞0だから
y＞0の範囲で4y^2+ay+1-a＞0すなわちy^2+ay/4+(1-a)/4＞0
となるaの範囲を求めると
y^2+ay/4+(1-a)/4=(y+a/8)^2-(a^2+16a-16)/64だから
-a/8＜0のときはy=0で4y^2+ay+1-a≧0・・・・・(ア)
0≦-a/8のときは-(a^2+16a-16)/64＞0・・・・・(イ)
(ア)から-a/8＜0、すなわち0＜aのときはa≦1・・・・・(ウ)
(イ)からはa^2+16a-16=0の解がa={-16±√(16^2+4*16)}/2
=-8±4√5だから-8-4√5＜a＜-8+4√5・・・・・(エ)
(ウ)(エ)の共通範囲をとって-8-4√5＜a≦1