私の2次不等式の解き方のどこが間違っているか

質問

青チャート式数学1練習109(2)の問題について、初歩的な部分かと思いますが、なぜ私の解き方が間違っているのか理論的に教えて頂けませんでしょうか。

記載されていた問題：すべての実数xに対して、
不等式a(x^2+x-1)<x^2+xが成り立つような、定数aの値の範囲を求めよ。

チャート式に載っている解答としては、まずこの不等式を変形して
(a-1)x^2+(a-1)x-a<0としてから
(1)a-1=0すなわちa=1のとき
(2)a-1≠0すなわちa≠1のとき
の二通りに場合分けすると解説がありました。

しかし、私が一番最初にしてしまった計算は
問題文にある不等式a(x^2+x-1)<x^2+xを変形せずに
a=0とa≠0の場合の二通りで計算してしまっていました。

例えば、a=0の場合の計算だと、左辺は全て0になり、0<x^2+xとなります。
その後、x^2+x>0 → x(x+1)>0 → x<-1, 0<xと計算していました。

私は解説の方法でも計算自体はできましたが、なぜ解説に載っている方法で計算しないといけないのかが分かりませんでした。

恐らく初歩的な内容だと思いますが、考えても分からなかったので理論的に教えてください。

以上、宜しくお願い致します。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

> そして、x^2とxでくくれるので
> (a-1)x^2+(a-1)x-a<0となります。 <=======================
> これを判別式Dに代入します。
> D=(a-1)^2+4a(a-1)となります。

で、<======== の部分ですが、 a-1=0の時は、これが二次不等式になりませんね。従って、以下の「これを判別式Dに代入します」うんぬんの議論は、 a-1=0の時は使えない、従って場合分けをする必要がある、という訳です。逆に、a=0の時は、実は別に場合分けをしなくてもよい、というのも分かりますね？

で、模範解答は、上の<=========の所を見通して（こうなることは予想して）、端からa=1の時を分けているのですが、別に模範解答のように最初から場合分けをしなくてもよい。要は、<========の所まで計算したときに、「ああ、a=1の時は場合分けをしないといけないな」と、そこで気付けば良いわけです。

お礼

tmppassenger様

何度もご回答頂きましてありがとうございます。
この回答を見てやっと理解することができました。

長々とお付き合いいただいて本当にありがとうございました。

回答No.4

tmppassenger

ああ、模範解答も端から場合わけをしているわけではないのですね。いずれにせよ、<======= と計算したとき、気付かないといけないのはその通りです。

回答No.2

tmppassenger

取り敢えずあなたの回答を、完全に書いてもらえますか？正解しているなら結局ほとんど同じ事をしていると思います。

補足

tmppassenger様

回答ありがとうございます。
また、最初の質問文に情報が足りなくて申し訳ございません。
私の考えていた回答を全て以下に書きます。

記載されていた問題：すべての実数xに対して、
不等式a(x^2+x-1)<x^2+xが成り立つような、定数aの値の範囲を求めよ。

問題文に「不等式」とだけ記載がある時はx^2の係数が0の場合も考える必要があるので、a=0とa≠0の場合に場合分けして計算しようと思いました。

a=0の場合の計算だと、左辺は全て0になり、0<x^2+xとなります。
その後、x^2+x>0 → x(x+1)>0 → x<-1, 0<xと計算していました。

a≠0の場合の計算だと、
括弧を展開して右辺の項を左辺に移項して
ax^2-x^2+ax-x-a<0となります。
そして、x^2とxでくくれるので
(a-1)x^2+(a-1)x-a<0となります。
これを判別式Dに代入します。
D=(a-1)^2+4a(a-1)となります。
これを展開して整理すると
5a^2-6a+1<0となります。
これを因数分解すると、
(a-1)(5a-1)<0となり、a=1,1/5となり、
1/5<a<1となります。
この回答はa≠0の条件を満たしている、という計算結果となりました。

a=0の場合はx<-1, 0<xとなり、すべての実数xに対して、問題文の不等式が成り立つわけではないので、a=0の計算は条件を満たさない。

なので、私なりの最終回答は1/5<a<1ではないかと考えていました。

以上です。宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#231195

a≠0の場合はどうやって計算したのですか？
解説に乗っているような計算になりませんか？
そうしたら、その
(1)a-1=0すなわちa=1のとき
(2)a-1≠0すなわちa≠1のとき
と最初から分ければ、それでa≠0の場合も含まれますから、だから、a≠0の場合は解説でわざわざ取り上げていないのです。

また、放物線の頂点の座標というのは、受験生ならだれでも知っていることになっていますから、「これは放物線で、頂点の座標はこれこれである」とだけ書けば余計な説明を加える必要がありません。
それも理由としてあるんじゃないでしょうか。

補足

szo_orz様

回答ありがとうございます。

おっしゃる通り、a≠0の場合は私が行った計算でも解答に載っている計算と同じ計算式と答えになりました。

ただすいませんが、私数学初心者のため、もう少し分かりやすく理由をご説明頂けると助かります。本当に申し訳ございません。