2次不等式

質問

2次不等式：px＾2＋px＋p-1>0が、すべての実数xについて成り立つように,pの値の範囲を求める問題なのですが

どうして、p>0なんでしょうか？
p<0ではだめなのでしょうか？

そして、判別式ではなぜD<０なのでしょうか？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
今年もあとわずかですね・・

＞2次不等式：px＾2＋px＋p-1>0が、すべての実数xについて成り立つように,pの値の範囲を求める問題なのですが

＞どうして、p>0なんでしょうか？
p<0ではだめなのでしょうか？

＃１ですでに回答は出ていますが、分かりにくければ、
実際の数字を当てはめてみればいいですよ。

まず平方完成して

y=px^2+px+p-1
=p(x^2+x)+p-1
=p(x+1/2)^2-p^2+p-1
という式になりますが、ここで

p>0のとき、これは下に凸のグラフになりますよね。
p<0のときは、上に凸のグラフとなります。
これはいいですよね？

p=0のときが駄目なのは、なんでかというと、
p=0とすると
y=-1
という定数だけのグラフになっちゃいますので、xについての
２次関数ではなくなるからですね。

なので、p>0のときと、p<0のときを考えたらいいことになるんですが
p<0のときは、上に凸のグラフになるので、

px＾2＋px＋p-1>0が、すべての実数xについて成り立つように

ということですから、px^2+px+p-1<0
となってしまう場合も出てくるので、駄目だというわけです。
何故かというと「全ての実数xについて、yは正である」ように求めなさい、
という問題だからですね。
ある実数xについて、yが負になっちゃったら具合悪い、ということですね。

なので、p>0である、ということは条件として出ました。
次には、判別式ですが、判別式の値が負にならなければいけないのです。

＞判別式ではなぜD<０なのでしょうか？

判別式が正（０または０以上）である、ということは
２次関数のグラフは、必ずx軸とまじわっていますよね？
そこが、xの解だというわけです。
判別式Ｄ=0のときは、解は１個（１点でまじわっている）
判別式Ｄ>0のときは、解は２個（２点でまじわっている）
ということになるんでしたよね？

ここで、ｘ軸とまじわったらいけないわけです。
まじわってしまうと、そのｘ座標では、ｙ座標は０となってしまいますね。
今求めたいのは、ｙ座標はすべて０よりも大きくならないといけないので
それを満たすには、判別式Ｄ<0でなければならない、ということです。

グラフを描いてみると、ｘ軸よりも上っかわにグラフがきます。
（ｘ軸よりも浮いている状態）

じっくり考えてみてください。ではよいお年を！

回答No.1

lonely_saboten

p<0 だと y=px^2+px+p-1という二次不等式はどういう形になると思いますか？　少し考えてみましょう。

p<0だと、上に凸のグラフになりますね。
そうすると、y=px^2+px+p-1<0となる部分がでてきますよね。（グラフでy<0となる部分がでてきますよね）
だから、p>0が必要です。

ちなみにp=0も駄目です。なぜかは分かりますよね。

判別式 D<0 ということは、y=px^2+px+p-1=0という二次方程式が解をもたないということですよね。
そのとき、グラフどうなりますか？
解を持たないから、グラフはx軸と交わらなくなります。
つまり、グラフ全体がｘ軸の上に来ます。
ということは、すべての実数ｘについて、y=px^2+px+p-1>0ということですよね。

補足

グラフでP>0の部分がでたらだめのですか？
それは、計算が面倒だからですか？
それから、P=0もだめなのかわかりません。

そして、どうして解をもたないグラフとわかるのでしょうか？

知識がなくてすいません。