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数I方程式と不等式の問題
【問題】 ２つの二次方程式 ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝０・・・(1) ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(2) が共通の実数解をもつように定数ｋの値を定めよ 【解答】 (1)－(2)より、 （ｋ－２）ｘ＋２－ｋ＝０ （ｋ－２）（ｘ－１）＝０ ∴ｋ＝２またはｘ＝１ （i）ｋ＝２のとき、(1)、(2)はともにｘ＾２＋２ｘ＋２＝０となるが、判別式D/4=1-2=-1<0より、実数解をもたない （ii）ｘ＝１のとき、これが(1)、(2)の解になる条件は、 ３＋ｋ＝０よりｋ＝－３ 以上より、求めるｋの値はｋ＝－３である ↑問題集の解答はこのようにになっています ちなみに私は (1)＋(2)で２ｘ＾２＋（２＋ｋ）ｘ＋２＋ｋ＝０ この判別式D＝（２＋ｋ）＾２－８（２＋ｋ） ＝（ｋ＋２）（ｋ－６） と、(1)－(2)ではなく(1)＋(2)をしてしまいました。 なぜ足すとどこがどういけないのか分からないのですが、説明できる方がいたらお願いします…
- asd0pse
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- FT56F001
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「(1)(2)が共通の実数解を持つならば， (1)(2)を足した二次方程式も実数解を持つ」は正しいです。 よって，判別式でD＝(k+2)(k^6)≧0，すなわち k≧6またはk≦-2 までは言えますね。 では，逆に「k≧6またはk≦-2」だったら共通の実数解があるのか， と言うと，何も分かりません。 脱線ついでに判別式にこだわってみると， (1)が実数解を持つ条件からk^2-8≧0。よってk≧2√2またはk≦-2√2。 (2)が実数解を持つ条件から4-4k≧0。よってk≦1。 これらの共通部分をとると，k≦-2√2 少しは範囲を絞れたのですが， まだ核心はつけないですねぇ。 間違いではないけれど， 「共通の実数解をもつように定数ｋの値を定める」の目的には， まだまだ届かないのです。 他の回答者さんもおっしゃるように， 「(1)(2)からなるべく簡単な式を作って，kに対する条件を詰めていく」 のが，この手の問題への定石です。
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- 回答No.4
- hrsmmhr
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共通解を持つとき 解があるかないか以前に二つのグラフ y=x^2+2x+kとy=x^2+kx+2 の交点について考えるのには意味があって (交点がy=0のとき解なので) そのために二つのyが等しいとして引くことには意味がありますが 足しても何の共通解に対する性質を吟味することになってません
質問者からのお礼
なるほど… 自分は問題の意味がよくわかっていませんでしたね； ありがとうごさいました☆
- 回答No.3
間違いではありません。連立方程式を解く過程で（１）+（２）をするか（１）－（２）をするか、だけの違いです。しかし上記計算ではまだまだ途中です。ていうか（１）+（２）をやっても計算は全然楽になりません。思いっきり実直に考えると、 （１）を解く （１）が実数解を持つようにする （２）を解く （２）が実数解を持つようにする （１）の２解と（２）の２解が一致する組合せを見つける を計算すればいいのです。ここで（１）ー（２）を計算すると（１）と(２）を満たす解を求める操作が非常に楽になりますが、（１）+（２）を計算しても上記の実直な計算とほとんど同じです。
質問者からのお礼
なるほど！解答の意味がよくわかってなかったのですが理解できました！ ありがとうごさいました☆
- 回答No.2
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
足すこと自体は (意味があるかないかを無視すれば) 問題ないのですが, 判別式から何をするつもりなんでしょうか?
質問者からのお礼
＃５さんの冒頭に書いてあるような考え方をしたもので…；
- 回答No.1
- DJ-Potato
- ベストアンサー率36% (692/1917)
ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝０・・・(1) ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(2) が共通解をもつので、 ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(3) です。 左辺・中辺を取りだして、 ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ を解けばいいのです。これは、 (1) - (2) = 0 ですよね。
質問者からのお礼
なるほど！もやもやしてたのがぱっと晴れました！ ありがとうごさいました☆
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