二次不等式

質問

次の不等式が、指定された範囲内において、常に成り立つように、定数mの値の範囲をそれぞれ定めよ。

x^2 + 2mx + 1 ≧ 0　　　　　　　　　　0 ≦ x ≦ 2

この問題がどうしても分りません…どなたか解説お願いします。
ちなみに答えはm ≦ -1です。よろしくおねがいします。

回答No.1

nunokkire · ベストアンサー

左辺を平方完成すると、(x+m)^2-m^2+1　なので、
頂点のx座標が -m となります。
この位置が、指定された範囲 0≦x≦2 の外側か内側かによって、
最小値が違ってくるのがポイントです。

たとえば、-m≧2 すなわち m≦-2 の場合、
頂点は、与えられた範囲の右側にありますから、
0≦x≦2 の中では、グラフは右下がりになると思います。
なので、x=2 のときに左辺が最小値になります。
代入して計算すると 4m+5 で、これが0より大きくなければなりません。
4m+5≧0 ∴m≧-5/4
もとの条件の m≦-2 と合わせると、この場合では条件に合うmは存在しないことになります。

残りは 0≦-m≦2 (-2≦m≦0) の場合と -m≦0 (m≧0) の場合を同じように考えれば解けるはずです。
答えはおそらく、不等号の向きが逆になって出てくると思います。

お礼

すみません；答えに誤りがありました。m ≧ -1です。
丁寧な解説ありがとうございます＾＾
とてもよく理解できました！ありがとうございます！

回答No.2

akubisekai

答えがそもそも違うと思います。

たとえばｍ＝０とすればｘ＾２＋１≧０なので。

正解はｍ≧ー１だと思いまっす。

やり方は放物線の中心のところのｘ座標ーｍに着目して
ーｍ＜０のとき
０≦ーｍ≦２のとき
２＜ーｍで場合分けしてそれぞれの場合において条件みたすようなｍの範囲求めてやればおｋです。

お礼

すみません；答えに誤りがありました。m ≧ -1です。
夜遅くに解答ありがとうございます＾＾
おかげで問題が解けました！ありがとうございます！