二次不等式の問題です

質問

不等式-x^2+a<y<x^4-3x^2+1に関して次の条件が成り立つaの範囲を求めよ。
（１）yがどのように与えられても、そのｙに応じて与式が成り立つxが存在する。

という問題で答えはすべての実数となるのですが、よく理解できません。

詳しく解説できる方宜しくお願いします。

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

y ＝ x^4ー3^2x＋１　と　y ＝ ーx-2＋a　のグラフを描いてみるとわかりやすいです

y ＝ x^4ー3x^2＋１
　＝（x^2ー3/2）^2-ー5/4

は x＝±√（3/2）の時、最小値 ー5/4、x ＝ 0 の時、極大値 1 をとり、
上に開いて x が大きくなると、y はそれ以上にどこまでも大きくなるグラフ

y ＝ ーx^2＋a

は x ＝ 0　の時、最大値 a をとる、下に開いて、
x が大きくなると、y はどこまでも小さくなる（マイナス方向に大きくなる）
グラフです

次に
（ x^4ー3^2x＋１）－（ーx-2＋a）
＝（x^2ー1）^2 ー a

を考えると、

a ＜ 0 の時にすべての x について成り立ちます
　（y ＝ x^4ー3^2x＋１ のグラフが常に上）
　どんな y に対しても、成り立つ x が存在します

a ＝ 0 の時、２つのグラフは x^2 ＝ 1、すなわち
　x ＝ ±1 の時に接します
　x ＜ー1、1 ＜ x　であれば、
　y ＝ x^4ー3^2x＋１ のグラフが常に上ですので、
　どんな y に対しても、成り立つ x が存在します

0 ＜ a ＜ 1　の時、２つのグラフは 4点で交わります
　両端の交点の外側では
　y ＝ x^4ー3^2x＋１ のグラフが常に上ですので、
　どんな y に対しても、成り立つ x が存在します

a ＝ 1 の時、x^4 -2x^2 ＝ 0
　x ＝ 0 で接し、x ＝ ±√2 　で交わります
　x ＜ ー√2、√2 ＜ x であれば、
　y ＝ x^4ー3^2x＋１ のグラフが常に上ですので、
　どんな y に対しても、成り立つ x が存在します

1 ＜ a の時、x^2ー１＝a、x ＝ ±√（a＋1）で
　交わり、交点の外側であれば、
　y ＝ x^4ー3^2x＋１ のグラフが常に上ですので、
　どんな y に対しても、成り立つ x が存在します

以上、まとめると。すべての実数 a について、
x^2+a<y<x^4-3x^2+1　となる x が存在します

回答No.2

shuu_01

グラフと接するか、交わるかで細かく場合分けしましたが、

面倒くさいので、

a ＜ 0 　の時
　y ＝ x^4-3x^2+1　のグラフが常に上

a ≧ １　の時
　外側の交点より外側では
　y ＝ x^4-3x^2+1　のグラフが常に上

でも良いかもしれません