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取る値の範囲
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x、y、zは実数から、絶対不等式：（x＾2＋y＾2＋z＾2）±2（xy＋yz＋zx）≧0が成立する。 従って、x^2+y^2+z^2＝1より、｜xy＋yz＋zx｜≦1/2. そして、等号成立は？ ← このくらいは、自分でやって。
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問 x,y,zは実数であるとする。 (1)不等式 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 が成り立つことを示せ。等号が成り立つ場合も調べよ。 (2)x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たすとき、 不等式 -1/8≦xy+yz+zx≦3 が成り立つことを示せ。 (1)は証明できました。 (2)の解説は以下のように参考書に載っていました。 (解説)x+y+z=tとおくと、x^2+y^2+z^2=x+y+zから、 xy+yz+zx=(t^2-t)/2 となるので、 まずtがとりうる値の範囲を調べる。 x^2+y^2+z^2=x+y+z=tを3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 に代入して、3t≧t^2 よって、0≦t≦3 この範囲におけるxy+yz+zx=(t^2-t)/2の増減を調べて(省略) -1/8≦xy+yz+zx≦3を示すことができる。(終) 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしているとき、 x+y+z=tは0以上3以下のある値をとる、 ということはこの解答で証明できていると思うんですが、 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしながら 動くとき、x+y+z=tは0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうることは 証明できていないような気がします。 どうして0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうるといえるんでしょうか。 ぜひ教えてください。
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お礼
わかました。平方完成すれば必ず0以上ですものね。 ありがとうがざいました。