【数学I】絶対値つき不等式の証明問題が解けません。

質問

【数学I】絶対値つき不等式の証明問題が解けません。

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|x|<1
|y|<1

のとき

|x+y|/|1+xy| < 1 を示せ
-------------------------------------------------------

という問題になります。
絶対値の証明問題は不得意なところがあり、証明が全くできません。

参考書で似たような問題を探したところ見つからず、
「絶対値問題は両辺を二乗すれば…」
というヒント？は見つけることができました。
ただ、二乗したからどうなる？といったところが恥ずかしながら理解できず…。

可能であれば、ご解答と何故それで証明できるのかの部分もご教授頂けると助かります。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

絶対値の問題は慣れです。
二乗する方法もあります。

今回は定義に従って計算、場合分けします。

問題の不等式は |x + y| < |1 + xy| と同じこと

右辺は、場合分けする必要ありません。
|x| < 1 and |y| < 1
⇒ |xy| < 1
⇒　-1 < xy < 1
⇒　0 < 1 + xy
⇒ |1 + xy| = 1 + xy

絶対値の定義に従って場合分け
|x + y| =
x + y ≧0 の場合 x + y
x + y <0 の場合 - x - y

x + y ≧ 0 の場合
右辺－左辺 = xy + 1 - x - y = (1 - x)(1 - y) > 0

x + y < 0 の場合
右辺－左辺 = xy + 1 + x + y = (1 + x)(1 + y) >0

お礼

早急なご回答ありがとうございました。

＞　|x| < 1 and |y| < 1
＞　⇒ |1 + xy| = 1 + xy

の考え方は凄く参考になりました。

回答No.1

R_Earl

|A|^2 = A^2

となります(何故そうなるのかをちゃんと考えてみてください)。
これを利用すればやっかいな絶対値記号を消す事ができます。

|x+y|/|1+xy| < 1は左辺も右辺も正の数なので、
両辺を2乗しても不等号の関係は変わりません。
よって|x+y|/|1+xy| < 1を示したいのであれば、
この両辺を2乗した不等式
{(x + y)^2} / (1 + xy)^2 < 1
を解けば良い事になります。

分数式も処理しにくいので、両辺に(1 + xy)^2をかけて
(やはり(1 + xy)^2も正の数なので、両辺にかけても不等号関係は変わりません)
(x + y)^2 < (1 + xy)^2
と変形してから解くほうが簡単かもしれません。

あとは式展開、因数分解等のテクニックや
問題文に書かれている「|x| < 1, |y| < 1」の条件を上手く使えれば
証明する事ができます。

お礼

早急なご回答ありがとうございました。

ご教授頂いた方法で以下のように解いてみました。

(x+y)^2 < (1+xy)^2

右辺 - 左辺
　= (1+xy)^2 - (x+y)^2
　= xy^2 -x^2 -y^2 +1 > 0
　= (x^2-1)(y^2-1) > 0 ------(1)

|x|<1、 |y|<1より
-1<x<1、 -1<y<1 ----------(2)

(2)より(1)は成り立つ