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不等式の問題なのですが・・・

数IIの不等式の問題で、どうしても解けず、質問させて頂きました。 次の不等式を証明せよ。 (i) (x^4+y^4)(x^2+y^2)≧(x^3+y^3)^2  (x^4はxの四乗です) (ii) x^4+y^4≧x^3y+xy^3 以上二題です。 回答、お願い致します。

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回答No.2

左辺 =[(x^4+y^4)(x^2+y^2)] =[x^6+y^6+(x^2)(y^4)+(y^2)(x^4)] 右辺 =[(x^3+y^3)^2] =[x^6+y^6+2(x^3)(y^3)] 左辺-右辺 =(x^2)(y^4)+(y^2)(x^4)-2(x^3)(y^3) =(x^2)(y^2)[x^2+y^2-2xy] =(x^2)(y^2)[(x-y)^2]≧0 ∴ 左辺≧右辺   等号は x=y, x=0, y=0 のとき 。  ------------------ 左辺-右辺 =x^4+y^4-(x^3)y-x(y^3) =[x^4-(x^3)y]+[y^4-x(y^3)] =(x^3)(x-y)+(y^3)(y-x) =[(x^3)-(y^3)](x-y) =(x-y)[(x^2)+xy+(y^2)](x-y) =[(x-y)^2][ {x + (y/2) }^2 + (3/4)(y^2)]≧0 ∴ 左辺≧右辺   等号は x=y のとき 。

Zidane-9
質問者

お礼

回答、ありがとうございます。 とても丁寧で分かり易く、自分が纏められなかった部分も見えて、とても助かりました。

回答No.1

質問される場合は、なるべく、御自分がどこまで考えたかを 書くようにしてください。(その方が回答しやすいので) 見当違いの考えでも構いません。 それならそれで、何を勘違いされているか把握できますし。 もし、「全く」(手も付けられないぐらい)わからないのであれば、 基本的な問題を復習されることをお勧めします。 以下回答。 不等式の問題の最も基本的な解法は (左辺)-(右辺)を考えることです。 これで出来ない場合もあるかと思いますが、 多くの場合この方法が通用します。 (無理なら別の方法を考えればよいのです。) つまり、A≧Bを示せ。と言われれば、 A-B≧0を示せばよいのです。 (i),(ii)どちらの問題もこの方法で解けます。 (左辺)-(右辺)を展開して計算した後に、因数分解してみてください。 また、(ii)の後半で x^2+xy+y^2≧0を示すことになりますが、 これはx^2+xy+y^2を「xの2次関数」と見て、 平方完成してみてください。

Zidane-9
質問者

お礼

回答、ありがとうございます。 与式を展開した後の纏め方が分からず、苦労していました。 詳しいアドバイス、助かります。

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