不等式の問題・・・

質問

昨日下の東京農大の問題の(2)の解法の仕方を聞いて
理解できたのですが(1)の別解が知りたいので
わかる方、解説して頂けるとありがたいです...。

　　　　　　　　　　(^2→二乗　^3→三乗)
kを2以上の数とし
f(x)＝kx^3－(k+1)^2x^2+(2k^2+k+2)x-2k
とする。

(1)不等式f(x)＝0がkの値に関係なくもつ解を求めよ。

↑の問題なんですが
　k≧2なので
　(i)k=2を代入。出てきた解がx=2,1/2が出て
　(ⅱ)k=3を代入。出てきた解がx=2,3,1/3
kの値に関係なくもつ解なのでx=2としたのですが
これならば数学的帰納法で証明しないとダメなようで...。

数学的帰納法を使わない他の解法があれば教えていただきたいです。よろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.3

noname#18507 · ベストアンサー

このような○○の値に関わらずという言葉があった場合、その○○（今はk）でくくるのが鉄則です。
展開してkでくくると

f(x)=ｋ^2(2x-x^2)+k(x^3-2x^2+x-2)-x^2+2x

=k^2x(2-x)+k(x-2)(x^2+1)-x(x-2)

=(x-2)[-k^2x+k(x^2+1)-x]

=(x-2)(kx-1)(x-k)

となって、kがなんであってもxが２であればf(x)はゼロになるといえます。

お礼

ありがとうございました。
「k」でくくればよかったんですね。
とてもよくわかりました。

回答No.2

R_Earl

k = 2とk = 3の解両方に共通しているのがx = 2。
だけどkが2と3以外で解となるかが証明されていない。
それならf(x)＝kx^3－(k+1)^2x^2+(2k^2+k+2)x-2k
のkはそのままで、xに2を代入すれば良いと思います。
ようは

f(2) = k×2^3 － (k+1)^2×2^2 + (2k^2+k+2)×2 - 2k

を計算し、0になる事を示せばそれでOKだと思います。
これならkの値に依らず、x = 2でf(x) = 0となる事を証明できます。
やってみたところ、ちゃんとk^2もkも消え去って0になりました。
尚、x = 2以外の共通の解が存在しないことは既にk=2,3で示しているので、
x = 2以外の共通の解が存在しないも証明されていると考えて良いと思います。

お礼

ありがとうございます。
xに2を代入すればよかったんですね…。
とてもよくわかりました(^^

回答No.1

am3141592

因数分解できますよ。解もわかっているので、見当も付けられるし。

お礼

因数分解できましたね(^^;
どうもありがとうございました。