十分性の確認の問題について

質問

数Ａの青チャートにある問題、正の数X，Ｙに対して√X＋√Ｙ≦ａ√（X＋Ｙ）が成り立つような正の数ａのうち最小なものを求めよ。
この問題の解法でX＝１、Ｙ＝１を代入して√２≦ａを求めた後十分性の確認で逆にａ＝√２のとき
右辺の二乗－左辺の二乗＝（√x－√ｙ）＾２≧０で成立するので　解　最小値√２
と書かれています。特殊なケースを考えてその後十分性を確認するという方針は納得いくのですが、この解法では解の最小値が予測できないと求められないと思うのですが。
例x=1、ｙ=４の時代入すると３／√５≦ａとなって逆にａ＝３／√５のとき与不等式に代入して
　右辺の二乗－左辺の二乗をつくっても証明は不可∴これは解ではない。
また、Ｘ，Ｙにある値を代入してａ＝４となったとします。このとき与不等式は当然成り立つのですが、
最小なａ＝√２なわけですから当然間違いとなるわけですがこうしたケースはおきないと断定できるのでしょうか。断定できなければ解を絞り込む段階で予測できないと解を求められないと思うのですが。同じような問題を何題か見たのですが、不等式で数値代入を行い、十分性の確認をするという手法は有効なのでしょうか。整数問題等で同じような手法は納得いくのですが。どなたかご教授お願いします。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

＞ 解を絞り込む段階で予測できないと解を求められないと思うのですが。

その通りです。質問文中の解法は、
x = y = 1 のとき最小の a が現われることの正しい証明になっていますが、
どうやって x = y = 1 を思いついたのかについては何も説明していません。

内容は数学的に間違っておらず、
適用可能な問題が多いという意味で解法も相当に一般的ではありますが、
受験指南書の模範解答としては全く無力で、執筆者の能力が問われるでしょう。

試験中に、火事場の直観力で x = y = 1 を思いついてしまった場合には、
簡潔に書けてミスが混入しにくいという意味で強力な答案なのですが。

お礼

やはりそうですか。返答ありがとうございます。

回答No.7

htms42

＃４、＃５です。
繰り返しになるかもしれませんが改めて書きます。

＞問題なのは不等式等の問題（上の例題等）でａの値が予測し難い、ような問題でも同じように解けるのか。

この証明の論法はａを求めているのではありません。
ｂ＝(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)
の最大値を求めているのです。
ｘ＝ｙを代入して求めた√２はｂの最大値の候補です。
だから
√２≧(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)
が成り立つことを示せば√２が最大値であることが確定します。
そのあとでａ≧√２であれば
ａ≧(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)
が成立するという事です。

はじめからａの推測値を求めているような表現になっているので証明がおかしくなっています。
（私はこの証明は正しくないと思っています。ａとｂの混乱があるというのが理由です。あなたの疑問もａとｂの混乱に由来しています。）

ｂの最大値を求めるというところでは上に書いたように「特別な値ｘ＝ｙを入れて√２を求め、その√２が最大値であることを不等式で証明する」という論法をつかってもかまいません。

ｘ＝ｙを入れてみるという事が思いつかなければ、・・・
あきらめてください。

ただ、ａの最小値ではなくてｂの最大値を求めるのだという事が分かっていれば推測しやすくなるでしょう。

発想としては
相加平均、相乗平均で出てくる式の形に似ている、
相加平均、相乗平均の時は等号成立はｘ＝ｙの時だ、
ためしに入れてみよう、
という流れです。
ｂ＝√２が得られます。
ｘ＝０、またはｙ＝０を入れてみるというのも合わせて試してみるというのがいいでしょう。
ｂ＝１が出てきます。
ｘ＝ｙの時の方が大きな値になりますからｂの最大値の候補はｘ＝ｙの時の方です。

もとの式が対称式であるということで言えばｘ＝ｙ、ｘ＝０、ｙ＝０を試すというのは普通に思いつくことでしょう。ｘ＝２ｙ、・・・も試してみてもいいでしょう。
（こういう論証の場合、「いろいろ試す」という作業が入ってきます。いきなりｘ＝ｙが見つかるのではありません。でもこれは裏の作業として表には出てきません。あなたが一発でｘ＝ｙを思いつくという事を想定して質問されているのであれば「それはおかしい」と言っていいでしょう。）

＞また、Ｘ，Ｙにある値を代入してａ＝４となったとします。このとき与不等式は当然成り立つのですが、
最小なａ＝√２なわけですから当然間違いとなるわけですが、・・・

ｘ、ｙにある値を入れて得られるのはｂの値です。
そのｂの値は√２よりもちいさくなるはずですね。仮に１とします。
そこでａ＞１としていいだろうかという問いに変わるのです。
（ｂ＝１と出ているのにａ＝４とする人はいないでしょう。）
別のｘ、ｙを入れれば１よりも大きくなるかもしれません。これで結局「ｂの最大値を求める」というところに戻ってくることになります。
となります。

「ａ＝４　だとして」という例の出し方自体にも論証の流れについての誤解があるように感じます。

お礼

熱心な返答ありがとうございます。

回答No.5

htms42

＃４です。

相加平均、相乗平均を利用した場合、
(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)≦√２
は任意の正数、ｘ、ｙについて成り立ちます。
この「任意の」というところがポイントになります。
この不当式が「任意の正数ｘ、ｙについて成り立つ」ので
ａ≧√2であれば、任意の正数ｘ、ｙに対して
ａ≧(√ｘ+√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)
が成り立っているのです。ｘ＝１、ｙ＝１で示すのはこの「任意の正数について」というところが抜けてしまいます。逆にａ＝√２を入れた時に≧が成り立っているという事を確かめても√２がａの最小値であることを示したことにはなっていません。

√２を推測するのにｘ＝ｙを入れてみたというのはありです。それはａの値を求めたのではなくて
(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)＝√２を求めているのです。
これがヒントになって
ｘ≠ｙの時に
(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)＜√２
が成り立つことを示せばいいということが分かります。
これが示されて初めてａ≧√２であれば初めの≧が常に成り立つということが分かります。

ｂ＝(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)とします。
任意の正数ｘ、ｙについてａ≧ｂが成り立つａの最小値を求めるということはｂの最大値ｂoを求めることと同じであるして解いています。最大、最小が２重に入っています。単なる不等式の証明ではないのです。
お示しの証明はこの二重構造が示されていません。
数値を入れて解いている問題があったという事ですがこの部分にちがいがあるのではないでしょうか。

（数学が専門ではありませんので、要領を得ない、分かりづらい説明になっているかもしれません。）

補足

ＮＯ４、ＮＯ５の内容は理解できています。私が疑問に思っているのはこの問題の解ではなく、この問題の解に使われている手法が一般性があるのか、という点です。この問題は一例にすぎません。特殊な例を代入して、逆証で十分性の確認をするという手法は恒等式の係数決定では一般的で、その際には特に
理解が不十分になることはないですが、問題なのは不等式等の問題（上の例題等）でａの値が予測し難い
ような問題でも同じように解けるのか。解けるとしたらどのような注意点があるのか。困難だとしたら、やはり予測が出来るような時しかこの手法は使えないのか？といった点です。何か知っている点がございましたら、ご教授願います。

回答No.4

htms42

相加平均、相乗平均を使えば
√(ｘ＋ｙ)≧(√ｘ＋√ｙ)/√２
を導くことができます。
任意の正の数に対して
(√ｘ＋√ｙ)/√(ｘ＋ｙ)≦√２
が成り立ちます。
等号はｘ＝ｙの時です。
ａ≧√２であれば常に
√ｘ＋√ｙ≦ａ√(ｘ＋ｙ)
が成り立ちます。
ａ＝√２が最小値です。

大した手間ではないのですからｘ＝１、ｙ＝１で推測するというのは裏の作業だけにしておいて表に出す必要はないだろうと思います。
せめてｘ＝ｙを入れてみるというのであれば相加平均、相乗平均を踏まえていて途中が省略されたのかなとも思うのですが。十分性を確かめるようなおまけがついているという事であれば省略ではなくて「これが証明だ」と考えていることになりますね。
真似しない方がいいと思います。

補足

与不等式を変形して、相加相乗平均に持ち込めば解が求められるのは私も確認しているのですが、
私が疑問に思うのはこの解法（特殊な値を代入して、その後十分性の確認をするという手法）がどんな時（求めるａの値が予測不能のとき）でも有効なのか？という点です。例えば、恒等式が成立するときの係数の値を求める問題で数値代入法を使う時は逆証を入れて十分性の確認をしますが、ある特殊な数値を代入する時いちいち解の予測などしないで数字を代入して解を求めることができます。ところが上の例題のような不等式では解のａの値が予測が可能でないとこの解法自体有効ではないと思うのです。
以前別の問題で同じ解法をしていたものがあったのですが、その場合は不等式がまったく別のタイプ
だったのでａ等の値が予測ができなかったので解を求めることができなかったのです。（正解、不正解が自分では判断出来ない）結局解のａの値の予測がつかないと上の手法はだめという結論になるのでしょうか？

回答No.3

noname#149523

√x+√x≦a√(2x) ならば √x+√y≦a√(x+y) (x≦yとしてよい)
なので、ならばの左のほうだけ考えればよい、ということが解答では省略されてるのでは。

お礼

返答ありがとうございます。

補足

ＮＯ４さんの補足の所で書いた内容が私の一番の疑問点です。ご教授願えるのであればお願いします。

回答No.2

Tacosan

x=1, y=4 のとき a = 3/√5 に対して
「右辺の二乗－左辺の二乗をつくっても証明は不可」
と書かれていますが, ここでいう「証明」とは何の証明ですか?
まあ確かに言われる通りこの方法は危険. 最初から
√x+√y ≦ a√(x+y) iff x+y ≦ a√(x^2+y^2) iff (x+y)^2 ≦ a^2(x^2+y^2)
から Cauchy-Schwarz に走る方が安全だなぁ.

お礼

返答ありがとうございます。

補足

逆証、十分性の確認のことです。解はａ＝√２（１．４１４・・）なのですからａ＝３／√５（１．３４・・）と近似値を求めらるのでこの値を代入して、左辺二乗－右辺二乗の計算をしても≧０とならないと思うのですが。

回答No.1

tmpname

つまりはこういう風な解き方がすぐに思いつくように
なるくらいまで問題を解きましょう、という事です。

お礼

返答ありがとうございます。

補足

ということはやはり解の予測がつく時でしか使えないとなるのでしょうか？必要条件で解を絞り込んで
十分性の確認をするという手法は整数問題でも使っているのを見ていてそれは解が必要条件で
ある程度断定できるので納得出来るのですが、不等式の問題では断定できるとは思えないのです。
（上に書いた例など）とするとやはり不等式でこの手法をつかうのは危険なのですか？（危険だと思っているのですが）