高校数学、不等式の問題で…

質問

現在高校3年生で東京農大の問題を解いているんですが
学校から配付されている問題集で
解説をもらっていないので解き方が途中からわかりません...。
続きの説き方がわかる方、解説して頂きたいです。
ただ、自分が途中までやっているのが合っているかはわかりませんが(汗。

　　　　　　　　　　(^2→二乗　^3→三乗)
kを2以上の数とし
f(x)＝kx^3－(k+1)^2x^2+(2k^2+k+2)x-2k
とする。

(1)不等式f(x)＝0がkの値に関係なくもつ解を求めよ。

この問題は解けてx=2になりました。

(2)不等式f(x)≧0を解け。

　f(x)＝(x-2)(x-k)(kx-1)
　に変形するところまでしたんですが
　この後どうするのかわかりません。。。(汗

ちなみに答えは
　k=2のときx≧1/2；k＞2のとき1/k≦x≦2,k≦x
になるらしいです。

よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.1

noname#20377 · ベストアンサー

そこまで行ったら8割以上解けたようなものでしょう。

仮定よりk >= 2

f(x)=0となるようなxの前後で符号がf(x)の符号が入れ替わります

f(x)＝(x-2)(x-k)(kx-1)

k>2ならば

f(x) = (x-2)(x-k)(kx-1)
は
x=1/k,2,kで解を持ち

i)x < 1/kの時

(kx-1) < 0
(x-2) < 0
(x-k) < 0

だからf(x) < 0

ii)x = 1/kの時

f(x) = 0 (∵ kx-1 =0)

1/k < x < 2

(kx-1) > 0
(x-2) < 0
(x-k) < 0

より
f(x) > 0

iii)x = 2の時

f(x) = 0 (∵ x-2 =0)

iv)2 < x < k の時

(x-2) > 0
(x-k) < 0
(kx-1) > 0

なので

f(x) < 0

v) x = k

f(x) = 0 (∵ x-k =0)

vi)k < x

(x-2) > 0
(x-k) < 0
(kx-1) > 0

よって
f(x) > 0
となる。
以上から答えは1/k <= x <= 2, k <= x

意図的に抜かしたところがある。

1/k < 2 = kの時だ。

以下の四つのケースになる。
この四つのケースについて同様にf(x)の符号を調べると・・・

x < 1/k → f(x) < 0
x = 1/k → f(x) = 0
1/k < x < 2 = k → f(x) > 0
2 = k < x → f(x) > 0

となるから x >= 1/kとなる。(k=2だから必然的にx>=1/2)
(尚、問題文のk>=2が無ければもっと複雑になる。)

============
説明が通じていると良いのですが。

お礼

解説ありがとうございます。
完璧にはまだあまりわからなかったりしますが
同じような問題こなして理解していこうと思います。

回答No.2

noname#18507

(2)のf(x)=(x-2)(x-k)(kx-1)からf(x)のグラフは
　　　　　　　x=2、x=k、x=1/k　…(1)
でx軸と交わります。
kが2以上つまり正なのでグラフの形は、増加し、減少し増加するという形です。また、(1)を小さい順に並べると　x=1/k、x=2、x=k（kが2以上より）
　ところで、k=2のときはf(x)=(x-2)^2(2x-1)となりグラフはx軸に接します。

以上より、
　　　　　　　　k=2のときx≧1/2
　　　　　　　　k＞2のとき1/k≦x≦2,k≦x
となります。

お礼

解説ありがとうございます。
グラフの形とかから考えればよかったんですね。
なんとなくですがわかりました。