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不等式の問題です。教えてください!
不等式3<x+1<6・・・(1)と二次方程式xの二乗+ax+b-9=0・・・(2)(a,bは定数) があり、(2)はx=3を解にもつ。 (1)(2)の解がすべて(1)をみたすようなaの値の範囲を求めよ。 (2)(1)を満たすすべてのxが不等式a(x-a)<b(x-1)を満たすようなaの値の 範囲を求めよ。ただし、aは0ではないとする。 考え方がよく分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします!
- shinylight
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(1)(2)の解がすべて(1)をみたすようなaの値の範囲を求めよ。 >x^2+ax+b-9=0にx=3を代入すると3^2+3a+b-9=0、b=-3aだから (2)式はx^2+ax-(3a+9)=0となり、これをxについて解くと x=[-a±√{a^2+4(3a+9)}]/2={-a±√(a^2+12a+36)}/2 ={-a±√(a+6)^2}/2={-a±(a+6)}/2 よって、x={-a+(a+6)}/2=6/2=3とx={-a-(a+6)}/2=-a-3 3<x+1<6・・・(1)は2<x<5、上のxの解のうちx=3は 条件を満たしているので、2<-a-3<5、各項に-1をかけて -2>a+3>-5、よって-5>a>-8・・・答 (2)(1)を満たすすべてのxが不等式a(x-a)<b(x-1)を満たすようなaの値の 範囲を求めよ。ただし、aは0ではないとする。 >3<x+1<6・・・(1)は2<x<5、b=-3aだから a(x-a)<b(x-1)はa(x-a)<-3a(x-1)、ax-a^2<-3ax+3a xについて整理すると4ax<3a+a^2、a≠0だから両辺を aで割って、a>0の場合は4x<3+a、x<(3+a)/4・・・(ア) a<0の場合は4x>3+a、x>(3+a)/4・・・(イ) 2<x<5の範囲のxが(ア)を満たすためにはx<5≦(3+a)/4、 よって5≦(3+a)/4から20≦(3+a)、17≦a・・・(ウ) 2<x<5の範囲のxが(イ)を満たすためには(3+a)/4≦2<x、 よって(3+a)/4≦2からa≦5となるが、(イ)はa<0の場合 なので、a≦5とa<0の共通範囲をとってa<0・・・(エ) 以上から17≦a又はa<0・・・答
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不等式3<x+1<6…1と、 2次方程式x^2+ax+b-9=0…2 (a,bは定数)があり、(2)はx=3を解にもつ。 (1)1を解け。 また、bをaを用いて表せ。 (1)を解くとX<5ですよね? bをaを用いてというのは どうすればいいのでしょうか? (2)2の解がすべて1を満たすようなaの値の範囲を求めよ。 (3)1を満たすすべてのxが不等式a(x-a)<b(x-1)を満たすようなaの値の範囲を求めよ。 ただし、a≠0とする。 説明お願いします。
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お礼
回答して下さってありがとうございます! 考え方が分かりました! 参考にします。