不等式の問題

質問

不等式x^2＋2ax＋1≦0…(1)　2x^2＋7x－4≦0…(2)
について、不等式(1)の解が常に存在するとする。このとき、不等式(1)を満たすxがすべて不等式(2)を満たすようなaの値の範囲を求めよ。(東洋大)
答え　1≦a≦17/8

(1)について解き、その範囲の中に(2)の解が含まれていればよいと考え、解こうと思ったのですが、(2)より、－4≦x≦1/2というところで(1)はどうすればよいのだろうと思い、行き詰まりました。低レベルで申し訳ないのですが、解説等お願いします。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

>(1)について解き、その範囲の中に(2)の解が含まれていればよいと考え
逆じゃないですか？(1)の解の範囲の中に(2)の解が含まれていると、(1)の解だけど(2)の解じゃない範囲が出来てしまいますよね。

今回の問題から読み取れるのは、
>不等式(1)の解が常に存在するとする
から、この2次関数が負になるところがなければならないことがわかります。
この2次関数は下に凸なので、グラフがx軸と交点を持っていればいいことになりますね？
2次関数がx軸と交点を持つための条件とは…？
これが1つ目の条件です。

また、x軸と交点を持つように2次関数を描いてみると、解となる部分（2次関数が負となる部分）はx軸との交点と交点の間になりますよね？
では、(2)のグラフをまず描いて、もう1つの2次関数のグラフを、(2)とx軸との交点の間でx軸と2点で交わるように描いてみて下さい。
そこから、後で描いたグラフを上下左右に動かしてみると、交点の位置がいろいろ動くと思います。
交点が(2)とx軸との交点より外に出ないようにする境目を考えてみましょう。

具体的には、
・軸の位置
・(2)とx軸との交点の位置における、y座標
辺りを考えていくと答えにたどりつけると思います。

丸回答はしない方針なのでヒントだけを出そうとしたのですが、あまりうまくないですね…

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます！
グラフを書いてみるととてもわかりやすくなり、自分が(1)と(2)の範囲を逆に考えていたことも理解できました。
助かりました！ありがとうございます！

回答No.3

mister_moonlight

いつもは、こんな方法はやらないが。。。。。。
この問題は、むしろ、素直に不等式を解いてしまった方が簡単のようだ。

x^2＋2ax＋1＝0　の2解をα、β（α≧β）とすると、α＝-a+√（a＾2-1）、β＝-a-√（a＾2-1）。
題意から、(1)の解が(2)の解に含まれると良い。
(2)の解が、－4≦x≦1/2　だから、α≦1/2、β≧-4　であると良い。

後は、α≦1/2、β≧-4　に　α＝-a+√（a＾2-1）、β＝-a-√（a＾2-1）を代入して、無理不等式を解くだけ。
但し、(1)が実数解を持つから、判別式＝a＾2-1≧0　に注意は必要だが、結果は　1≦a≦17/8　になる。

お礼

なるほど…そういう考え方もできるんですね…恐れ多いです…！
ありがとうございます！

回答No.2

noname#139365

-4≦x≦1/2が出ているので---(1)
f(x)=x^2+2ax+1
=(x+a)^2-a^2+1
とし
この軸x=-aがまず(1)の範囲に入るように考えます
-4≦-a≦1/2
-1/2≦a≦4---(2)

x^2+2ax+1≦0が解を持つので
判別式=a^2-1≧0
(a+1)(a-1)≧0
a≦-1,1≦a----(3)

また
f(-4)≧0より
16-8a+1≧0
-8a≧-17
a≦17/8---(4)
f(1/2)≧0より
1/4+a+1≧0
a≧-5/4---(5)

(2)(3)(4)(5)より
1≦a≦17/8

お礼

わかりやすい計算過程、ありがとうございます！なんだか申し訳ないです…助かりました！