不等式

質問

二つの不等式
　2x+a^2≧ax+4　…(1)
　x^2-(a+4)x+4a≦0 …(2)
がある。ただし、aは定数とする。

（1）a=1とする。不等式(1)、不等式(2)をそれぞれ解け。
（2）a<2とする。不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めよ。
（3）a<4とする。不等式(1)、(2)を同時に満たす整数xがただ一つ存在するようなaの値の範囲を求めよ。

（1）は(1)がx≧3、(2)が1≦x≦4と求められたのですが、（2）（3）の解法がわかりません。回答、よろしくお願いします<(_ _)>

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

（2）a<2とする。不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めよ。

2x+a^2≧ax+4
2x-ax≧4-a^2
(2-a)x≧(2-a)(2+a)
x≧2+a

x^2-(a+4)x+4a≦0
(x-a)(x-4)≦0
a≦x≦4

よって、二式を同時に満たすxは、
2+a≦x≦4

（3）a<4とする。不等式(1)、(2)を同時に満たす整数xがただ一つ存在するようなaの値の範囲を求めよ。

上記の解より、
a≦1は、x=3,x=4の2個以上の整数解がある。
1＜a＜2は、整数解はx=4のみ。

a=2の場合、解はx=4。

2＜a＜4の場合、
(1)式はx≦2+aとなるので、二式を同時に満たすxは、
a≦x≦2+a
aと2+aの間には必ず２つ以上の整数があるので、整数解は２個以上。

以上より、整数解がただ一つ存在するaの値の範囲は、
1＜a≦2