数学Iの問題 不等式

質問

方程式と不等式

２つの不等式
2x+a^2≧ax+4…………(1)
x^2-(a+4)x+4a≦0……(2)
がある。

（１）　a=1とする。不等式(1)、不等式(2)をそれぞれ解け。

（２）　a<2とする。不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値を求めよ。

（３）　a<4とする。不等式(1)、(2)を同時に満たす整数xがただ一つ存在するようなaの値の範囲を求めよ。

この(2)(3)を教えてください

回答No.1

imdolphin · ベストアンサー

（２）
2x+a^2≧ax+4　　　(1)
x^2-(a+4)x+4a≦0　(2)
a<２

(1)の形を変えて、下記の式になる

（2-a）x≧(2+a)(2-a)

a<２ので、2-a>0、よって、上記の式から下記の関係がわかります。

x≧2+a

(2)の形を変えて、下記の式にする
(x-4)(x-a)≦0

x≧2+a　ですから、
x-a≧2　がわかります。

よって、下記の関係がわかります。
x-4≦0
x-a≧0

よって、

（２）の解答は　　2+a≦x≦4　です。

（３）
2x+a^2≧ax+4　　　(1)
x^2-(a+4)x+4a≦0　(2)
a<４

2)の形を変えて、下記の式にする
(x-4)(x-a)≦0

二つの可能性があります。
可能性(1)　x-4≧0　且つ　x-a≦0
可能性(1)から、下記の結論になります。
4≦x≦a
ですが、この結論はa<４と矛盾するので、可能性(1)が成り立てません。

可能性(2)　x-4≦0　且つ　x-a≧0
可能性(2)からは下記の関係がわかります。

a≦x≦4

次は(1)を解きます。
(1)の形を変えて、下記の式になる

（2-a）x≧(2+a)(2-a)
●2-a>0の場合、上記の式から、x≧2+a　がわかります。
ですから、
a<2の場合、
2+a≦x≦4

●2-a<0の場合
（2-a）x≧(2+a)(2-a)から　ｘ≦2+a　がわかります。
a≦x≦4　ですから、
a＞2の場合、
a≦x≦2+a

●2-a=0の場合、
（2-a）x≧(2+a)(2-a)は下記の式になります。
0x≧4
よって、ｘは任意数値です。

（２）からの結論のa≦x≦4とあわせて、

a=2の場合、2≦x≦4　がわかります。

よって、（３）の解答は　

a＜2の場合、2+a≦x≦4
a＞2の場合、a≦x≦2+a
a＝2の場合、2≦x≦4　

また、a＝2の場合の結果はa＜2またはa＞2のどっちかと一緒にすればよい。（３）の解答は

a＜2の場合、2+a≦x≦4
a≧2の場合、a≦x≦2+a